ОБЩИЕ ЗАДАЧИ ПРЕДМЕТА: По окончании изучения предмета студент должен уметь:
- - Распознавать матрицы и представлять проблемы в матричной форме - Умело выполнять различные возможные операции между матрицами - Вычислять определитель матрицы, интерпретировать это значение и соответствующим образом использовать его свойства - Решать любую систему линейных уравнений с использованием матричной записи с помощью различные методы. - Выполняйте разные операции при работе с векторами и применяйте их свойства для решения различных конкретных задач.
Урок 1: МАТРИЦЫ.
Матрица - это прямоугольный массив чисел, расположенных в m строк (по горизонтали) и n столбцов (по вертикали), заключенных в круглые или квадратные скобки.
Наиболее часто используемое обозначение - A =, где i - номер позиции строки, а j - номер столбца.
Размер массива обычно указывается в виде нижнего индекса « mxn ».
Когда m = n, матрица называется квадратной.
Главная диагональ: она существует только в квадратных матрицах и представляет собой линию, образованную элементами a ij такими, что i = j
След матрицы: это сумма элементов главной диагонали.
Карта (A) = a 11 + a 22 + a 33 +… + a nn
ВИДЫ МАТРИЦ
Матрица строк: это матрица порядка 1 x n.
Матрица столбца: это матрица порядка mx 1.
Нулевая матрица: это матрица, все элементы которой равны "0".
Верхняя треугольная матрица: это квадратная матрица, элементы которой a ij = o, когда i> j
Нижнетреугольная матрица: это квадратная матрица, элементы которой a ij = o, когда i
Диагональная матрица: это квадратная матрица, элементы которой a ij = o, когда i ≠ j
Скалярная матрица: это диагональная матрица, элементы которой a ij = k (k ≠ 0), когда i = j
Матрица идентичности: это диагональная матрица, элементы которой a ij = 1, когда i = j
Симметричная матрица: это квадратная матрица, где a ij = a ji для i ≠ j
Антисимметричная матрица: это квадратная матрица, где a ij = - a ji для i ≠ j и a ij = 0 для i = j.
ОПЕРАЦИИ С МАТРИЦАМИ
Противоположная матрица: пусть A = ее противоположность - A = - =
Транспонированная матрица: Пусть A = порядка mxn, ее транспонирование получается перестановкой строк на столбцы и обозначает A ' или A t = и имеет порядок nxm
Сумма матриц: Пусть матрицы равны A = и B = их сумма получается сложением
«Элемент за элементом» A + B = y одинакового размера.
Примечание. Можно добавлять только матрицы одинакового размера.
Умножение на скаляр: произведение матрицы A = на скаляр «k» получается путем умножения каждого элемента матрицы на указанный скаляр k · A =
Примечание. В работе с матрицами принято называть масштабированием независимых числовых величин.
Умножение матриц: произведение двух матриц возможно только в том случае, если количество строк во второй матрице равно количеству столбцов в первой.
Пусть матрицы A = mx p и B = p xn будут произведением, потому что количество строк в B равно p и равно количеству столбцов в A. Полученная матрица C имеет порядок mxn C = A · B = mxn и его элементы получаются путем умножения элементов строк A на соответствующие элементы столбцов B и сложения этих продуктов.
Линейные комбинации: Говорят, что строка матрицы является линейной комбинацией других, если есть действительные числа k 1; k 2; k 3;…; k n так, чтобы данная строка была суммой произведений каждого действительного числа и каждой из других строк в матрице.
Операции между строками массива:
Между строками матрицы могут выполняться следующие операции, при этом результирующая матрица не перестает быть эквивалентной исходной матрице.
- Переставьте две строки матрицы. Умножьте строку на ненулевое действительное число. Добавьте или вычтите линейную комбинацию одной или нескольких других строк матрицы из строки.
Обратная матрица:
При работе с действительными числами деление числа « a » на число « b » можно заменить произведением « a » на обратное к « b ».
Метод не был определен для прямого деления матриц, но если мы сможем найти матрицу, обратную к заданной, то мы можем определить (в возможных случаях) деление матрицы A между матрицей B как произведение A на матрицу B -1 где
В -1 является обратной матрица B.
Одним из наиболее часто используемых методов поиска обратной матрицы является метод Гаусса-Жордана, который состоит из записи единичной матрицы, соответствующей стороне данной матрицы, а затем выполнения преобразований в строках обеих матриц до преобразования данной матрицы в единичную., то матрица, полученная в результате преобразований, выполненных над единицей, будет обратной по отношению к исходной матрице.
Свойства матричной арифметики:
Предполагая, что размеры матриц таковы, что можно выполнять указанные операции:
ПРИКЛЮЧЕНИЕ 2: ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
В предыдущих исследованиях было работали с reares функций вещественных переменными, такими, как F (X) = 3x - 2 является функцией, что действительное число х связывает реальное значение F (X). Определитель - это функция, которая связывает действительное число с матричной переменной и определяется как det (A).
- Определитель матрицы первого порядка (составленной из действительного числа) - это само действительное число. Определитель матрицы второго порядка - это произведение главной диагонали на произведение вторичной диагонали.
Определитель как действительное число, связанный с матрицей, имеет следующие свойства:
- Если матрица A имеет строку или столбец, все элементы которого равны «0», то det (A) = 0 Если матрица A имеет две равные строки, det (A) = 0 Если A - квадратная матрица, det (A t) = det (A) Если A - треугольная матрица, det (A) = a 11 ٠a 22 ٠a 33 ٠… ٠a nn Если матрица B является результатом добавления к строке матрицы A числа, кратного другой строке, det (A) = det (B) Если B является результатом обмена двумя строками в матрице A, det (A) = - det (B) Если матрица B является результатом умножения строки матрицы A на скаляр k тогда det (B) = k٠det (A) Если A и B - матрицы равного размера, det (A٠B) = det (A) ٠det (B) det (A + B) ≠ det (A) + det (B)
Примечание: если матрица A обратима, det (A) ≠ 0
Методы оценки определителей порядка "n".
- Редукцией (элементарными операциями между строками).
Этот метод состоит в преобразовании матрицы в треугольную матрицу путем выполнения операций над строками и с учетом свойств определителей, определитель получается из определителя результирующей матрицы.
- Путем развития сомножителей в ряды или столбцы (правило Крамера).
Чтобы объяснить этот метод, сначала необходимо, чтобы он был второстепенным и был кофактором или дополнением.
Определитель матрицы порядка n - это сумма произведений элементов строки или столбца на их соответствующий кофактор.
Матрица, обратная определителю:
Дана квадратная матрица A, она называется присоединенной матрицей к A, и матрица представлена с помощью adjA к матрице, которая получается заменой каждого элемента A его соответствующим кофактором. Тогда величина, обратная A, может быть вычислена по следующей формуле:
БЛОК 3: СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Линейное уравнение: линейное - это равенство, в котором есть одна или несколько неизвестных или неизвестных величин.
Решение уравнения заключается в нахождении значения или значений неизвестных, для которых выполняется равенство.
Когда линейное уравнение имеет только одно неизвестное, тогда у него есть только одно решение, и оно решается путем решения для неизвестного или переменной.
Когда линейное уравнение имеет более одного неизвестного, тогда оно имеет много решений (в большинстве случаев бесконечное число), потому что при решении для одной переменной оно остается функцией другой. Чтобы решить эту проблему, необходимо присвоить значение параметра переменной, тогда другие переменные будут основаны на назначенном параметре.
Системы линейных уравнений: это называется так, когда, если они имеют более одного уравнения с более чем одним неизвестным, в этом случае могут быть даны три возможных решения:
- Что система имеет одно решение (совместимое и определенное) Что система имеет более одного решения (неопределенно совместимо) Что система не имеет решения (несовместимо)
Поскольку линейное уравнение представляет собой прямую линию, решения можно интерпретировать следующим образом:
- Совместимые и определенные (пересекающиеся линии) Совместимые неопределенные (эквивалентные или совпадающие линии) Несовместимые (параллельные линии) a) b) c)
Существует несколько методов решения систем линейных уравнений из 2 или 3 уравнений с 2 или 3 неизвестными. В этом курсе не будут использоваться те, кто уже изучил предыдущие предметы, за исключением метода Крамера, который будет распространен на системы n-уравнений с n-неизвестными.
В общем виде Систему Линейных Уравнений (СПУ) m-уравнений с нинкогнитами можно записать:
Поскольку в этом курсе мы будем изучать использование матриц и определителей для решения SEL, давайте рассмотрим далее на примере два способа написания SEL с матричным представлением.
х 1 + х 2 + 2 х 3 = 8 - х 1 - 2 х 2 + 3 х 3 = 1 3 х 1 - 7 х 2 + 4 х 3 = 11
Методы решения:
- Метод Гаусса.
Метод Гаусса заключается в преобразовании расширенной матрицы системы уравнений в ступенчатую (преобразование части коэффициентов матрицы в треугольную).
- Метод Гаусса-Жордана.
Метод Гаусса-Жордана заключается в преобразовании расширенной матрицы системы уравнений в масштабированную и сокращенную матрицу (преобразование части коэффициентов матрицы в единицу).
- Крамера.
Метод, изученный в предыдущих курсах, применим к SEL из n-уравнений с n-неизвестными.
- Обратный метод.
Он состоит из записи SEL в форме A٠X = B и последующего решения относительно X = A -1 ٠B с применением матричного умножения.
Однородные системы линейных уравнений:
Когда в SEL все независимые члены равны «0», это означает, что система однородна и может иметь:
- Единственное решение S = (0; 0;…; 0) (Тривиальное решение) Бесконечные нетривиальные решения в дополнение к Решению
Обычно они разрешаются Гауссом-Джорданом.
ТЕМА 2: ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ВЕКТОРЫ:
Мы называем физической величиной то свойство тела, которое можно измерить. Масса, длина, скорость или температура - все это физические величины. Обоняние или сочувствие, поскольку их невозможно измерить, не являются физическими величинами.
Для многих физических величин достаточно указать их значение, чтобы они были точно определены. Так, например, если мы скажем, что у Хосе Антонио температура 38 ºC, мы прекрасно знаем, что у него лихорадка, и если рост Розы 165 см, а ее масса 35 кг, ясно, что она очень худая. Когда величина определяется своим значением, она называется скалярной величиной.
Другие величины с их числовыми значениями не дают нам всей информации. Если нам скажут, что Pedrol ехал со скоростью 20 км / ч, мы вряд ли узнаем больше, чем вначале. Они также должны сказать нам, откуда он бежал и куда он собирался.
Эти величины, которые, помимо их значения, требуют направления, называются векторными величинами и представляются векторами. В этой теме мы изучим векторы и их свойства.
Мы можем рассматривать вектор как отрезок прямой со стрелкой на одном из концов. Таким образом, мы можем различить его по четырем основным частям: точка приложения, модуль (норма или интенсивность), направление и смысл. Если два вектора отличаются по любому из трех последних элементов (интенсивности, направления или смысла), мы будем считать их разными.
в то время как, если они отличаются только точкой применения, мы будем считать их равными.
Всегда можно нарисовать два вектора с одинаковым направлением, но в противоположных направлениях. Если они также имеют одинаковую интенсивность, мы говорим, что это противоположные векторы, поскольку они компенсируют друг друга.
Мы уже знаем, как можно представить векторные величины. Но если мы хотим иметь возможность работать с векторами, мы не можем довольствоваться их графическим представлением, нам нужно иметь возможность выражать их численно, чтобы иметь возможность работать более комфортно и лучше их изучать.
Любой вектор можно нарисовать на плоскости, если мы разместим его так, чтобы его точка приложения совпадала с началом координат, концом вектора, тогда он будет совпадать с точкой на плоскости, точкой (x, y).
Любая точка (x, y) определяет вектор, который начинается в начале координат и заканчивается в самой точке. Аналитически представим вектор точкой, определяющей его конец. Мы будем называть координаты компонентов вектора , и каждый вектор, таким образом, будет определяться двумя компонентами, одним x и другим y, которые будут декартовыми компонентами вектора.
В дополнение к его декартовым координатам существует еще один способ численного определения вектора: указание его интенсивности и угла, который он образует с осью абсцисс. Это (модуль и угол) полярные координаты вектора. Во многих случаях работать с полярными координатами удобнее, чем с декартовыми координатами.
Зная полярные координаты вектора, можно сразу определить его декартовы координаты с помощью тригонометрии.
ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ:
Вектор может быть представлен как матрица-строка или матрица-столбец, точно так же, как строки и столбцы матрицы могут рассматриваться как векторы.
Векторные операции:
Сумма: сложение векторов складывает векторы и в результате дает вектор. Эта операция может выполняться как графически (как это было изучено в предыдущих курсах), так и аналитически.
Примечание: цель этого курса - больше работать этим последним способом.
Чтобы сложить два или более векторов аналитическим способом, необходимо сначала выразить их в декартовых координатах, а затем они добавляются в виде матриц строк (компонент за компонентом). Можно добавлять только векторы одинакового размера.
Как и любая операция, сложение векторов имеет некоторые свойства, облегчающие выполнение:
| Коммутативная собственность | v + w = w + v |
| Ассоциативное свойство | (v + w) + u = w + (v + u) |
| Нейтральный элемент | v + 0 = v |
| Противоположный элемент | v + (-v) = 0 |
Умножение на скаляр: вектор можно умножить на скаляр, и в этом случае каждый компонент вектора умножается на скаляр.
Графически это означает умножение модуля вектора:
Умножение на скаляр также имеет определенные свойства: Пусть U; В; W векторов и k; l скаляров:
Ассоциативное K٠ (l٠U) = (k٠l) ٠U
Распределительный k٠ (U + V) = k٠U + K٠V
(k + l) ٠V = k٠V + l٠V
Нейтральный элемент 1 ٠W = W
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Мы привыкли представлять точку на линии как действительное число; точка на плоскости как упорядоченная пара и точка в трехмерном пространстве как упорядоченная тройка или тройка. Но если мы распознаем набор упорядоченных чисел (a 1; a 2; a 3; a 4) как точку в четырехмерном пространстве, даже если эту идею нельзя представить геометрически за пределами трехмерного пространства, ее можно понять, рассматривая свойства аналитика чисел вместо геометрических свойств.
Векторное пространство является лишь непустое множество п-векторов сортируется совместимых свойств близко и выше для суммы и на умножение на шкале г. Он обозначается R n и классифицируется следующим образом:
R 1 = одномерное пространство, реальная прямая линия.
R 2 = двумерное пространство, упорядоченные пары.
R 3 = трехмерное пространство, упорядоченные тройки.
R n = n-мерное пространство, упорядоченное n-adas.
Свойство закрытия: оно определяет, что при работе с двумя элементами набора результат должен принадлежать набору, назначенному в операции.
Пусть U; В; W векторов, принадлежащих R n и k; l скаляров:
Замыкаемость суммы V + W Є R n
Коммутативное свойство v + w = w + v
Ассоциативное свойство (v + w) + u = w + (v + u)
Нейтральный элемент v + 0 = v
Противоположный элемент v + (-v) = 0
Замыкание умножения на скаляр k٠W Є R n
Ассоциативное K٠ (l٠U) = (k٠l) ٠U
Распределительный k٠ (U + V) = k٠U + K٠V
(k + l) ٠V = k٠V + l٠V
Нейтральный элемент 1 ٠W = W
Скалярное произведение : скалярное произведение; (точечный продукт или евклидово внутреннее произведение) - это тип умножения, определяемый между векторами, который очень полезен для приложений к реальным задачам, поскольку он присваивает действительное значение операции между векторами и определяется следующим образом:
Он также определяется с точки зрения его декартовых компонентов.
uv ⋅ знак равно u 1 ⋅ v 1 + u 2 ⋅ v 2
Аналогичным образом оно распространяется на векторное пространство R n.
Перекрестное произведение векторов: это тип умножения, который определен для векторного пространства R 3, который широко используется при решении задач, в которых необходимо определить вектор, перпендикулярный (ортогональный) двум другим векторам.
Пусть v = (v 1; v 2; v 3) и u = (u 1; u 2; u 3) векторы, принадлежащие R 3
Произведение vxu - это вектор, принадлежащий R 3, перпендикулярный «v» и «u», его смысл можно определить с помощью правила правой руки:
Он определяется путем формирования матрицы, первая строка которой является компонентами первого вектора, а вторая строка - компонентами второго вектора, затем каждый компонент результирующего вектора является определителем матрицы, которая получается путем подавления в сформированной матрице столбца, соответствующего компонент, который вы ищете, изменив знак второго компонента:
Некоторые векторные приложения:
Угол θ, образованный двумя векторами могут быть вычислены путем комбинирования формул скалярного произведения, следующим выражением:
Расстояние между двумя точками можно определить, используя формулу модуля вектора V = х 2 + у 2 с учетом вектора, который соединяет точку P 1 (х 1; у 1; г 1) с точкой Р 2 (х 2; y 2; z 2) как разность векторов OP 2 - OP 1
Площадь параллелограмма, чьи непараллельных ребра рассматриваются как векторы в R - V (V 1, V 2, V 3) и и (и 1; у 2; у 3) может быть вычислен как модуль векторного произведения между обеими векторами а площадь треугольника равна половине.
Линейная комбинация: вектор «v» называется линейной комбинацией векторов v 1, v 2, v 3,…, v n в векторном пространстве R n, если есть действительные числа k 1, k 2,… k n. таким образом, что "v" может быть выражено как:
V = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 +… + k n v n
Чтобы проверить, является ли вектор «x» линейной комбинацией v, u, w є R 3:
Предлагается однородная система линейных уравнений для:
k 1 v + k 2 u + k 3 w = x
k 1 (v 1; v 2; v 3) + k 2 (u 1; u 2; u 3) + k 3 (w 1; w 2; w 3) = (x 1; x 2; x 3)
k 1 ٠v 1 + k 2 ٠u 1 + k 3 ٠w 1 = x 1 k 1 ٠v 2 + k 2 ٠u 2 + k 3 ٠w 2 = x 2 k 1 ٠v 3 + k 2 ٠u 3 + k 3 ٠w 3 = x 3
Если у системы есть решение, вектор x представляет собой линейную комбинацию v, u, w.
Линейная зависимость и независимость: векторы v 1, v 2, v 3,…, v n называются линейно зависимыми, если существуют бесконечные линейные комбинации этих векторов, которые приводят к вектору 0.
Если единственная линейная комбинация, которая дает такой результат, - это та, в которой k 1 = k 2 =… = k n, то векторы называются линейно независимыми.
0 = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 +… + k n v n
Пример: Чтобы проверить линейную зависимость между векторами v, u, w є R 3:
Предлагается однородная система линейных уравнений для:
k 1 v + k 2 u + k 3 w = 0 k 1 (v 1; v 2; v 3) + k 2 (u 1; u 2; u 3) + k3 (w 1; w 2; w 3) = (0; 0; 0)
k 1 ٠v 1 + k 2 ٠u 1 + k 3 ٠w 1 = 0 k 1 ٠v 2 + k 2 ٠u 2 + k 3 ٠w 2 = 0 k 1 ٠v 3 + k 2 ٠u 3 + k 3 ٠w 3 = 0
Если эта система имеет только тривиальное решение, векторы линейно независимы. Если у вас есть бесконечные решения, они линейно зависимы.
Сгенерированное векторное пространство: Говорят, что векторы v 1, v 2, v 3,…, v n генерируют векторное пространство V, если любой вектор «b» указанного пространства может быть записан как комбинация данных векторов.
б = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 +… + k n v n
База и размерность векторного пространства: свободная векторная система, которая позволяет генерировать все векторы своего векторного пространства, является базой.
Каждое векторное пространство имеет хотя бы одну базу.
Число элементов базиса системы векторов называется размерностью векторного пространства.
Например: векторы (0,0,1), (0,1,0) и (1,0,0) - это базис, который обычно используется в трехмерном пространстве.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Линейное преобразование - это векторная функция векторной переменной w = f (v).
Где: → Векторное пространство "v" - независимая переменная
→ Векторное пространство "w" является зависимой переменной
Если V и W - векторные пространства и F - функция, которая связывает уникальный вектор в W с каждым вектором V, то говорят, что F применяет V в W, и записывается: F: V → W
Также, если мы пишем w = f (v), мы говорим, что w является образом v под f.
Определение. Определение линейного преобразования гласит, что любое векторное пространство в V и W может быть выполнено линейным преобразованием, если оно удовлетворяет аксиомам распределения при сумме T (u + v) = T (u) + T (v) и умножении на скаляр T (k ٠ u) = k ٠ T (u). Следуя вышесказанному, линейное преобразование имеет следующие свойства:
- T (0) = 0T (-v) = - T (v) T (vu) = T (v) -T (u)
