Распределения вероятностей и как рассчитать их с помощью minitab

Определение: Распределение вероятностей указывает на полный диапазон значений, которые могут быть представлены в результате эксперимента, если он должен быть выполнен.

Другими словами, он описывает вероятность того, что событие произойдет в будущем, это фундаментальный инструмент для предвидения, поскольку сценарий будущих событий может быть разработан с учетом текущих тенденций различных природных явлений.

Статистика-для-администраторов-вероятностное распределение

Каждое распределение вероятности генерируется переменной (потому что она может принимать разные значения) случайным образом x (потому что полученное значение является абсолютно случайным) и может быть двух типов:

Дискретная случайная величина (х). Потому что он может принимать только целые значения и их конечное число. Например:

x ® Переменная, определяющая число студентов, утвержденных по предмету вероятности, в группе из 40 студентов (1, 2, 3… или 40).

СВОЙСТВА ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (X)

0≤p (x _i) £ 1 Вероятности, связанные с каждым из значений, которые принимает x, должны быть больше или равны нулю и меньше или равны 1.Sp (x _i) = 1 Сумма вероятностей, связанных с каждым одно из значений, которое принимает x, должно быть равно 1.

Существует монета, которая при подбрасывании может дать только два результата: либо головы (50%), либо хвосты (50%).

В следующей таблице приведены возможные результаты подбрасывания монеты дважды:

ПЕРВЫЙ ВЫПУСК	ВТОРОЙ РЕЛИЗ	КОЛИЧЕСТВО ГРАНЯМИ IN 2 РЕЛИЗОВ	ВЕРОЯТНОСТЬ 4 ВОЗМОЖНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
ЛИЦО	ЛИЦО	два	0,5 X 0,5 = 0,25
ЛИЦО	ПЕРЕСЕКАТЬ	один	0,5 X 0,5 = 0,25
ПЕРЕСЕКАТЬ	ЛИЦО	один	0,5 X 0,5 = 0,25
ПЕРЕСЕКАТЬ	ПЕРЕСЕКАТЬ	0	0,5 X 0,5 = 0,25

Составляя таблицу распределения возможного количества головок, полученного в результате подбрасывания монеты дважды, мы получаем:

КОЛИЧЕСТВО ПОВЕРХНОСТЕЙ	РЕЛИЗЫ	ВЕРОЯТНОСТЬ ЭТОГО РЕЗУЛЬТАТА P (ЛИЦО)
0	(КРЕСТ, КРЕСТ)	0,25
один	(ЛИЦО, КРЕСТ) + (КРЕСТ, ЛИЦО)	0,50
два	(ЛИЦО ЛИЦО)	0,25

ПРИМЕЧАНИЕ. В этой таблице представлен не фактический результат бросания монеты дважды, а теоретический результат, то есть то, как ожидается, что эксперимент с подбрасыванием монеты дважды будет вести себя.

Непрерывная случайная величина (х). Потому что он может принимать как целые, так и дробные значения и бесконечное их количество в одном интервале.

Например:

x ® Переменная, определяющая концентрацию серебра в граммах некоторых образцов минералов (14,8 гр., 12,1, 42,3, 15,0, 18,4, 19,0, 21,0, 20,8,…, ¥)

СВОЙСТВА ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (X)

p (x) ³0 Вероятности, связанные с каждым из значений, которые принимает x, должны быть больше или равны нулю. Другими словами, функция плотности вероятности должна принимать только значения, большие или равные 0. Область, определенная в функции плотности вероятности, должна быть 1.

РАВНОМЕРНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

(САМЫЕ ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ)

Биномиальное распределение распределение Пуассона нормальное распределение

БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Биномиальное распределение является частным случаем вероятности дискретной случайной величины, и по своим приложениям оно, возможно, является наиболее важным.

Это распределение соответствует выполнению случайного эксперимента, который удовлетворяет следующим условиям:

При проведении эксперимента возможны только два результата: событие А, называемое успехом, или его противоположность А, называемая неудачей. При повторении эксперимента полученный результат не зависит от результатов, полученных ранее. Вероятность события А постоянна, то есть он не меняется от одного теста эксперимента к другому. Если мы назовем pa вероятностью A, p (A) = P, то p (A ') = 1 - p = q

* В каждом эксперименте проводится n идентичных испытаний.

Говорят, что любой эксперимент с такими характеристиками следует модели биномиального распределения или распределения Бернулли.

В общем, если у нас есть n испытаний Бернулли с вероятностью успеха p и неудачи q, то моделируемое нами распределение вероятностей - это биномиальное распределение вероятностей, и его правило соответствия:

Поскольку вычисление этих вероятностей может быть несколько утомительным, были построены таблицы для некоторых значений n и p, которые облегчают работу.

Расчет биномиального распределения вероятностей тремя методами:

а) Использование Minitab 15.b) Использование формулы в) Использование биноминальных таблиц

Например:

Какова вероятность получения ровно 2 голов при подбрасывании одной монеты 6 раз?

Куда:

P (X) - вероятность возникновения события, p - вероятность успеха события (в одной попытке) (0,5) q - вероятность отказа события (в одной попытке) и определяется как

q = 1 - p (0,50)

X = возникновение события или желаемые успехи = 2 (для целей биноминальной таблицы берут r) n = количество попыток = 6

а) Расчет биномиального распределения вероятностей с использованием Minitab 15.

В заголовке столбца C1 в виде X и в строке 2 столбца 1 помещается номер 2 (который представляет номер вхождения события, поскольку вы хотите знать вероятность того, что ровно две грани упадут). (См. Рисунок 1)

Выберите: C alc / Вероятность D распределения / B inomial

Далее появится окно «Биномиальное распределение».

Выберите ProbabilityIn поля «Количество испытаний» место 6 (п) В поле « E вентиляционной вероятности» место 0,50 (вероятность успеха В поле «Input колонка» помести указатель мыши, и она будет автоматически появляться В поле слева C1 X, которое выбирается указателем мыши, а затем нажмите «Выбрать». После ввода данных нажмите «ОК». Чтобы получить результат.

Вероятность падения двух голов на бросок монеты 6 раз равна 0,234375.

Таким образом:

б) Расчет биномиального распределения вероятностей по формуле

Подставляя значения в формулу, получаем:

в) Расчет биномиального распределения вероятностей с использованием биномиальных таблиц.

Для комбинации n и p запись указывает на вероятность получения определенного значения r (возникновения события). Чтобы найти запись, когда p≤0,50, найдите значение p вдоль заголовка таблицы и в В соответствующем столбце найдите n и r в левом поле, чтобы найти запись, когда p≥0,50, найдите значение p в нижней части таблицы и n и r выше в правом поле.

Решая тот же пример, но используя биномиальные таблицы, мы должны:

р = 0,50, n = 6 и r = 2

Получение прямого результата таблиц.

ПРИМЕЧАНИЕ. Для этого конкретного случая, когда p = 0,50, результат таблиц можно получить, работая так, как если бы p≤0,50 (обведено синим цветом) или как p≥0,50 (обведено красным).

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

Распределение Пуассона также является частным случаем вероятности дискретной случайной величины, которая обязана своим именем Симеону Дени Пуассону (1781-1840), французу, который разработал его на основе исследований, проведенных им на последнем этапе своей жизни., Это распределение используется для описания определенных процессов.

Характеристики:

В этом типе эксперимента желаемые успехи выражаются на единицу площади, время, кусок и т. Д.:

# количество дефектов ткани на м ² # количество самолетов, приземляющихся в аэропорту за день, час, минуту и т. д. # количество бактерий на см ² культуры # количество телефонных звонков на переключатель в час, минуту и т. д. и т. д. количество заходов лодок в порт за день, месяц и т. д. и т. д.

Чтобы определить вероятность x успехов в единицу времени, площади или продукта, используйте формулу:

где:

p (X) = вероятность x успехов, когда среднее число вхождений из них равно l.

l = среднее или среднее количество успехов за единицу времени, площади или продукта

е = 2,718 (неперианский или натуральный логарифм основания)

X = переменная, которая обозначает количество успехов, которые вы хотите достичь

Следует отметить, что в этом распределении количество успехов, которые происходят в единицу времени, области или продукта, является абсолютно случайным и что каждый временной интервал не зависит от другого данного интервала, так же как каждая область не зависит от другой данной области и каждый продукт не зависит от другого данного продукта.

Расчет распределения пуассоновской вероятности тремя методами:

Использование Minitab 15. Использование формулы Использование таблиц Пуассона

Например:

Если банк получает в среднем (l =) 6 плохих чеков в день, каковы шансы его получения:

а) четыре плохих чека в любой день (x), б) 10 плохих чеков в любые два дня подряд?

(е = 2,718281828)

а) Расчет распределения вероятности Пуассона с использованием Minitab 15.

Решение для:

а) х = 4; l = 6 бездонных чеков в день

В столбце заголовка C1 в виде X и в строке 1 столбца 1 размещается номер 4 (который представляет номер события, так как вы хотите знать вероятность того, что банк получит 4 плохих чека в данный день), (См. Рисунок 2)

Выберите: C алк / Вероятность D istributions / P oisson

Появится окно «Распределение Пуассона».

Выберите Вероятность. В поле «Среднее» (среднее = 1) поместите 6 (среднее значение ежедневных чеков, полученных без средств). В поле «Столбец ввода» поместите указатель мыши, и он автоматически появится в поле слева. C1 Выберите его с помощью указатель мыши и нажмите «Выбрать» После того, как данные были поданы, нажмите «ОК». Для получения результата.

Поэтому вероятность того, что банк получит четыре плохих чека в данный день:

Решая таким же образом для:

Х = 10; l = 6 x 2 = в среднем 12 бездонных чеков, которые поступают в банк два дня подряд.

Чтобы таким образом получить результат.

Следовательно, вероятность того, что банк получит десять плохих чеков в течение двух последовательных дней:

б) Расчет распределения вероятности Пуассона по формуле

Решение для:

а) х = 4; l = 6 бездонных проверок в день и подстановка в формулу

Решая таким же образом для:

б) Х = 10; l = 6 x 2 = в среднем 12 бездонных чеков, которые поступают в банк два дня подряд. в) Расчет распределения вероятности Пуассона с использованием таблиц Пуассона

Прямые значения для определения вероятностей Пуассона. Для данного значения λ запись указывает вероятность получения определенного значения X

Для того же примера, решение для:

а) Какова вероятность того, что банк получит четыре плохих чека в определенный день?

У нас х = 4; l = 6 плохих чеков в день; получение прямого результата таблиц:

Для того же примера, решение для:

б) Какова вероятность того, что банк получит десять плохих чеков в течение двух дней подряд?

У нас Х = 10; l = 6 x 2 = в среднем 12 бездонных чеков, которые доходят до банка два дня подряд, получая прямые результаты из таблиц:

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Нормальное распределение также является частным случаем вероятности непрерывной случайной величины, оно было впервые признано французом Авраамом де Моивром (1667-1754). Позже Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) разработал более глубокие разработки и сформулировал уравнение кривой; следовательно, он также более известен как «колокол Гаусса». Распределение нормальной переменной полностью определяется двумя параметрами: ее средним значением (µ) и стандартным отклонением (σ). В этих обозначениях плотность нормали определяется уравнением:

Есть две основные причины, почему нормальное распределение занимает такое видное место в статистике:

Он имеет некоторые свойства, которые делают его применимым к большому количеству ситуаций, в которых необходимо делать выводы посредством выборки. Нормальное распределение почти соответствует фактическим частотным распределениям, наблюдаемым во многих явлениях, включая характеристики человека, результаты процессов. физические и многие другие меры, представляющие интерес для администраторов как в государственном, так и в частном секторах.

Свойство:

Независимо от того, какие значения µ и σ для нормального распределения вероятностей, общая площадь под кривой всегда равна 1, поэтому мы можем думать об областях под кривой, как если бы они были вероятностями. Математически это правда, что:

Приблизительно 68% всех значений в нормально распределенной популяции находятся в пределах ± 1 стандартного отклонения от среднего значения. Приблизительно 95,5% всех значений в нормально распределенной популяции находятся в пределах ± 2 стандартных отклонений от среднего значения. Приблизительно 99,7% всех значений в нормально распределенной популяции лежат в пределах ± 3 стандартных отклонений от среднего значения.

Соотношение между площадью под кривой нормального распределения вероятности и расстоянием до среднего значения, измеренного в стандартных отклонениях.

Эти графики показывают три разных способа измерения площади под нормальной кривой. Однако очень немногие приложения нормального распределения вероятностей включают интервалы точно (плюс или минус) 1, 2 или 3 стандартных отклонения от среднего значения. Для этих случаев существуют статистические таблицы, которые указывают части области под нормальной кривой, которые содержатся в любом количестве стандартных отклонений (плюс или минус) от среднего значения.

К счастью, стандартное нормальное распределение вероятностей также можно использовать для поиска областей под любой нормальной кривой. Эта таблица определяет область или вероятность того, что распределенная случайная величина обычно находится в пределах определенных расстояний от среднего значения. Эти расстояния определены в терминах стандартных отклонений.

Для любого нормального распределения вероятности все интервалы, содержащие одинаковое количество стандартных отклонений от среднего значения, будут содержать одинаковую долю общей площади под кривой для любого нормального распределения вероятности. Это позволяет использовать только одну таблицу стандартного нормального распределения вероятностей.

Значение z определяется по формуле:

В котором:

x = значение интересующей случайной величины. µ = среднее значение распределения случайной величины.σ = стандартное отклонение распределения. z = число стандартных отклонений от x до среднего значения распределения. (Использование z - это только изменение масштаба измерения горизонтальной оси)

Расчет нормального распределения вероятности методами:

a) Использование таблиц нормального распределения b) Использование Minitab 15. a) Расчет нормального распределения вероятностей с использованием стандартных таблиц нормального распределения вероятностей.

Пример:

Существует программа обучения, предназначенная для повышения качества руководящих навыков руководителей производственной линии. Поскольку программа управляется самостоятельно, супервайзерам требуется различное количество часов для ее завершения. Исследование вышеуказанных участников показывает, что среднее время, необходимое для завершения программы, составляет 500 часов, и что эта нормально распределенная случайная величина имеет стандартное отклонение 100 часов.

а) Какова вероятность того, что случайно выбранному кандидату требуется более 500 часов для завершения программы обучения? б) Какова вероятность того, что случайно выбранному кандидату потребуется от 500 до 650 часов для завершения программы обучения? учебная программа?

Решение для:

а) Рисуя график нормального распределения (колокол Гаусса), можно видеть, что половина области под кривой расположена по обе стороны от среднего значения за 500 часов. Следовательно, из этого следует, что вероятность того, что случайная величина принимает значение больше 500, представляет собой заштрихованную область, то есть 0,5

Решаем сейчас:

б) Имеем: µ = 500 и σ = 100 и подставляем значения для получения Z

Найдите Z = 1,50 в стандартной таблице нормального распределения вероятностей.

Нахождение вероятности 0,4332.

Следовательно, вероятность того, что случайно выбранному кандидату потребуется от 500 до 650 часов для завершения программы обучения, составляет 0,4332, то есть 43,32%.

б) Расчет нормального распределения вероятностей с использованием Minitab 15.

Решение для:

а) Какова вероятность того, что случайно выбранному кандидату потребуется более 500 часов для завершения программы обучения?

Для получения графика нормального распределения вероятностей в minitab 15 выберите:

G Раф / Распределение вероятностей земля…

Затем появится окно «График распределения вероятности» с указателем, выберите «Просмотр вероятности» и после выбора нажмите O K.

Далее появится другое окно «График распределения вероятности - просмотр вероятности».

На вкладке Распределение: В поле « D istribution:» выберите «Normal». В поле « M ean» (среднее = l) место 500 (среднее количество часов, необходимое для завершения программы). S tandar deviation »place 100 (стандартное отклонение переменной) На вкладке« Затененная область »: с помощью указателя выберите« P robability ». С помощью указателя выберите« Right Tail ». В поле« P r obability »: place 0.5 (поскольку В этом случае среднее значение занимает точно самую высокую точку кривой, поэтому вероятность составляет 0,5). После ввода данных нажмите «ОК».

Программа MIinitab вернет отображаемый график

Эти шаги были описаны, чтобы показать вам, как построить график.

Решение для:

б) Какова вероятность того, что случайно выбранный кандидат займет от 500 до 650 часов, чтобы завершить программу обучения?

Чтобы получить график в minitab, выберите:

G Раф / Распределение вероятностей земля…

Далее появится другое окно «График распределения вероятности - просмотр вероятности».

На вкладке Распределение: В поле « D istribution:» выберите «Normal». В поле « M ean» (среднее значение = l) введите 500 (среднее количество часов, необходимое для завершения программы). В поле « S tandar ». Отклонение »помещаем 100 (стандартное отклонение переменной). На вкладке Затененная область: с помощью указателя выберите« Значение X ». С помощью указателя выберите« Среднее ». В поле X v значение 1: место 500 (среднее значение) В поле X v a lue 2: место 650 (значение вероятности того, что переменная принимает в этой точке) После ввода данных нажмите «ОК». Программа MIinitab вернет отображаемый график и полученное значение

То есть вероятность того, что случайно выбранному кандидату потребуется от 500 до 650 часов для завершения программы обучения, составляет 0,433. (43,30%)

ВЫВОДЫ

Задача «Статистика в применении к бизнесу», которую преподавал инженер Хуан Алехандро Гарза Родригес, подтолкнула нас к изучению и использованию Minitab в качестве еще одного инструмента.

Благодаря огромному техническому прогрессу мы сэкономили время для статистического анализа, однако понимание логики, которая используется для достижения ее разрешения, привело нас к этому исследованию, которое очень хорошо провела компания Eng. Гарза, который учит нас предмету.

С развитием этого проекта и благодаря пониманию концепций и обработке программы Minitab мы поняли, что это мощный статистический инструмент, который при правильном применении может помочь нам облегчить расчеты для решения проблем. Что продолжается с основной целью: экономия средств и постоянное улучшение в любой области, в которой мы развиваемся. Мы узнали, что область, в которой мы выполняем свою работу, не ограничивает, поскольку как в области машиностроения и материаловедения, так и в сфере людских ресурсов и в нашем собственном бизнесе, в торговле или в промышленности, или просто для увлечения панорамой статистической вероятности, эти инструменты всегда будут очень полезны.

Для этой презентации мы изучили применение и управление наиболее распространенными вероятностными распределениями, биномиальным, пуассоновским и, наконец, нормальным распределением.

В дополнение к использованию и эксплуатации Minitab 15, рассуждения, ручной расчет и таблицы были исследованы как исходный метод, каким он был выполнен, до того, как Minitab существовал как таковой.

Мы хотим поделиться этой подборкой информации с кем-то еще, кому, как и нам, было необходимо исследовать и проводить такую работу. Анализ и исследования, которые открыли наши умы, а также наши способности выполнять более эффективно в нашей работе и личных функциях.

Спасибо, что нашли время, чтобы просмотреть наши вклады.

БИБЛИОГРАФИЯ

Статистика для администраторов. Шестое издание. Ричард И. Левин и Дэвид С. Рубин. Редакционный зал Prentice. Глава 5 Вероятность II: Распределения, стр. 232 - 264GE Освещение - AEA. Курс Зеленых Поясов, Неделя Инициативы Sies Sigma # 1. Апрель 1997 года. Minitab 15 (тестовая версия, полученная с www.minitab.com).MeetMinitabEs.pdf (полученная с www.minitab.com) Распределение вероятностей (информация взята с www.monografias.com, http: //www.monografias.com / obras29 / distribution-probabilities / distribution-probabilities.shtml) Биномиальное распределение (информация взята с www.wikipedia.com, http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial)Normal Distribution (информация взята с www.wikipedia.com, http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normalDistribution of Poisson (http://www.itchihuahua.edu.mx / академический / промышленный / sabaticorita / _private / 05Distr% 20Poisson.htm)

Скачать оригинальный файл