Эта диссертация посвящена изложению основных аспектов современной теории портфеля, рассматривая теорию полезности в качестве фундаментальной в качестве теоретической поддержки полученных результатов.
Этот документ состоит из пяти частей. Первый из них относится к основным концепциям, представленным в портфельных инвестициях, без углубления в математические аспекты. Кроме того, обоснование для изучения этих тем дается путем представления соответствующих аспектов реальной жизни на рынках. Вторая часть посвящена теории полезности, в которой ожидаемая полезность показана как средство выбора между случайными альтернативами. Третья часть посвящена анализу риска, доходности и корреляции как ключевых компонентов инвестиционного портфеля. Четвертая часть исследует природу эффективной границы через теоремы двух фондов и одного фонда. В пятой части выводится CAPM для всей экономики и показано применение бета-версии при определении стоимости капитала.
Чтобы прояснить некоторые концепции в этой презентации, было разработано приложение по нормам распределения и определениям рынка.
основные аспекты-правовых современного портфолио-теория1 ВВЕДЕНИЕ В КЛЮЧЕВЫЕ КОНЦЕПЦИИ
Инвестиции
Под инвестициями понимается использование ресурсов при производстве удовлетворяющих факторов с целью получения потенциальной прибыли в будущем. Вложение может быть сделано в двух аспектах в национальной экономике или за рубежом:
1. Прямой. Это осуществляется в материальных активах, таких как машины и нематериальные активы, такие как образование. Эти инвестиции, как правило, долгосрочные, учитывая низкую ликвидность, которую они представляют.
2. Косвенные или портфельные инвестиции. Относится к покупке финансовых инструментов, таких как акции. Как правило, краткосрочные, учитывая наличие вторичных рынков, которые обеспечивают ликвидность для финансовых активов.
В данной презентации это будет второй тип инвестиций, однако, прежде чем приступить к изучению инвестиционных портфелей, элементы определения инвестиций должны быть разбиты:
o Производство сателлитов
o Неопределенный доход
Производство удовлетворительных инвестиций
Использование ресурсов для производства товаров и / или услуг, которые не удовлетворяют никакой потребности, невозможно, потому что никто не захочет их покупать.
Случай муниципалитета, который выдает долги за строительство моста, показывает необходимость создания материальных благ для жителей и перевозчиков, которые нуждаются в улучшенных каналах связи. С другой стороны, держатели муниципальных облигаций являются теми, кто предоставляет финансовые ресурсы.
Неопределенные выгоды
Инвестиции небезопасны, даже те, которые сделаны в государственных бумагах, поскольку они подвержены рыночным, кредитным и операционным рискам. Риск инвестиций определяет прибыльность, предлагаемую им в зависимости от альтернативных издержек. Таким образом, чем выше риск, тем выше доходность.
После того, как концепция инвестиций понятна, следующим шагом является анализ соответствия одной инвестиции другой. В прямых инвестициях есть методы оценки инвестиционных проектов, в то время как в портфельных инвестициях есть анализ фондового рынка и теория современного портфеля, которая является темой этой экспозиции.
Инвестиционный портфель в первом определении.
Это набор из как минимум двух финансовых инструментов, в которые он был инвестирован одновременно.
Финансовые инструменты, с помощью которых можно создать портфель, различны и могут поступать со следующих рынков:
• Денежный
рынок • Рынок капитала •
Срочный
рынок
• Валютный рынок • Товарный рынок
Портфели имеют смысл в идее диверсификации, которая способствует снижению риска и поддержанию эффективности.
Диверсификация. Следующий пример дает интуитивное представление о том, что означает диверсификация.
Гостиница
Лимонад предлагается посетителям в небольшой гостинице. В жаркие дни лимонады увеличивают доход, но в прохладные дни люди снижают потребление холодных напитков, поэтому чувствуют снижение продаж. Если владелец гостиницы вводит кофе в свое меню, тогда, когда жаркие дни, можно предлагать лимонад, а в холодные дни - кофе, что снижает вероятность потерь.
В этом случае диверсификация продукции приводит к компенсации потерь лимонада за счет продажи кофе в прохладные дни. В жаркие дни продажи кофе уменьшатся, а продажи лимонадов увеличатся, поэтому в обоих случаях вероятность потери уменьшается.
Диверсификация берет свое начало в теории яблочка, которая была разработана Альфредом Коулзом в 1920-х годах. Идея этой теории указывает на то, что предпочтительнее покупать у всего, что находится на фондовом рынке, для формирования диверсифицированного портфеля. Коулз пришел к выводу, что диверсифицированный портфель в среднем лучше, чем следование лучшим инвестиционным стратегиям биржевых маклеров за счет комиссионных платежей.
Позднее идея Коулза была усовершенствована с помощью современной теории портфеля, инициированной Марковицем. Классическая фраза диверсификации «не кладите все яйца в одну корзину» из-за Тобина не должна быть забыта.
Ключ к диверсификации лежит в зависимости между инструментами, которые составляют портфель. Такие отношения зависимости оцениваются с помощью корреляции. Чем ниже соотношение активов, тем более диверсифицированным будет портфель.
Доходность и риск. При выборе между двумя портфелями наиболее важными показателями являются риск и доходность, которую они представляют.
Доходность показывает рост стоимости портфеля. Необходимо проводить различие между реализованной и ожидаемой производительностью. Первый относится к производительности, которую фактически имел портфель, а второй - к оценке будущих результатов портфеля.
Риск часто определяется как вероятность убытков и может быть связан с падающим рынком, но даже в этом сценарии можно получить прибыль за счет коротких позиций. Следовательно, для этих примечаний риск указывает на дисперсию доходов, полученных с ожидаемым доходом.
Как доходность, так и риск имеют разные методы оценки, такие как скользящие средние для производительности и модели GARCH для волатильности. Однако этот материал использует только среднюю доходность и стандартное отклонение в качестве оценок доходности и риска, соответственно.
Инвестиции инвесторов
На финансовых рынках существуют разные типы инвесторов, но в первой классификации рассматриваются два класса: индивидуальный и институциональный. Однако необходимость инвестирования и условия, в которых находится инвестор, являются факторами, определяющими виды инвестиций.
банки
Одно и то же финансовое учреждение может иметь разные портфели на основе политики высшего руководства. Таким образом, в финансовом учреждении вы можете найти торговый портфель, состоящий из ликвидных инструментов для частого перебалансирования (изменения состава портфеля), и пенсионный фонд, состоящий из долгосрочных инструментов с меньшей ликвидностью, но предлагающий возможность использовать определенные регулирующие арбитражи. Регулирующий арбитраж (применим только к нескольким банкам) состоит из инвестирования в инструменты, в отношении которых регулирующие органы запрашивают регулятивный капитал, который меньше, чем экономический капитал.
страхование
Страховые учреждения должны инвестировать резервы, потому что это ресурсы, на которые реагируют требования. Циркуляр S-11.2 Национальной комиссии страхования и облигаций устанавливает характеристики инвестиций, в которых может участвовать страховая компания. В этом циркуляре указаны лимиты инвестиций на основе типа активов и класса резервов, как показано в таблицах 1 и 2.
Нынешняя пенсионная система в Мексике
Таблица 1. Ограничения на инвестирование резервов регулирующими органами.
Тип стоимости Процент портфеля
Ценные бумаги, выпущенные или обеспеченные федеральным правительством До 100%
Ценные бумаги, выпущенные или обеспеченные кредитными организациями До 60%
Любые инвестиции, кроме указанных выше До 30%
Источник: Национальная комиссия страхования и облигаций
Таблица 2. Ограничения ликвидности на резервные инвестиции.
Резерв Минимальный процент краткосрочных инвестиций
OPC 100
IBNR 75 Текущий
риск 50
Математика 30
Прогнозирование 30
Особые обстоятельства на случай непредвиденных обстоятельств 30
Катастрофические риски 20
Источник: Национальная комиссия страхования и облигаций
Это просто упрощенные примеры реальности на финансовых рынках. Модели, показанные в этом материале, являются лишь началом длительного процесса обучения, которому должны следовать те, кто намерен участвовать в финансовых рынках.
2 ТЕОРИЯ ПОЛЕЗНОСТИ
Решение перед лицом неопределенных альтернатив моделируется с помощью теории полезности, которая представлена в ограниченном виде, но без вычитания ключевых элементов для понимания выбора портфеля. В следующих параграфах показаны аксиомы теории полезности, а также вывод ожидаемой полезности в качестве инструмента выбора перед случайными альтернативами. Затем обсуждаются темы стохастического доминирования, неприятия риска и критерия средней дисперсии. Иллюстрация 1 показывает ход этого блока контента.
Иллюстрация 1. Теоретическая поддержка подбора инвестиционных портфелей.
Ожидаемый критерий оценки для оценки неопределенных альтернатив.
До тридцатых годов XVIII века считалось, что люди выбирают неопределенные альтернативы, основываясь на критерии ожидаемой ценности. Недействительность указанного критерия иллюстрируется ниже:
Предположим, что у человека есть следующие альтернативы:
1. Лотерейный билет, который присуждает 2000 денежных единиц (CU) с вероятностью 5% и теряет CU2 с вероятностью 95%. Представление этой ставки:
02000 0,05
G = ⎨E = 2000 * 0,05 + (- 2) * 0,95 = 98,1
⎩− 2 0,95
2. Инвестиции H в размере 100 д.е. на банковский счет, который безопасно выплачивает 1%.
E = 101
3. Игра M, состоящая из честного броска монеты, который останавливается при первом появлении фронта и в этом случае выплачивает 2 денежные единицы, где r - количество бросков, пока игра не остановится. Значение вероятности r-го броска равно 2-r, поэтому надежда этой игры
E
r = 1
По критерию ожидаемой ценности третьим вариантом является правильный выбор. Однако, имея бесконечный ожидаемый приз, стоимость участия в такой игре также бесконечна, поэтому никто не захочет участвовать в ней. Игра М более известна как Санкт-Петербургский парадокс.
Несоответствие этого критерия решается с помощью идеи ожидаемой полезности, которая в следующих параграфах построена из аксиом.
Аксиомы Теории Полезности
Прежде чем представить аксиомы рассматриваемой теории, необходимо понимание идеи лотереи. Лотерея - это игра, в которой получают разные взаимоисключающие призы со связанными коэффициентами и имеют следующее выражение:
⎧x1 p1
G (x1, x2,.., xn: p1, p2,.., pn) = ⎪⎪⎨x2 p2
⎪
nxn pn
где приз xi имеет вероятность пи. Это простое выражение лотереи можно сократить, сгруппировав призы и вероятности в векторы x = (x1, x2,…, xn) и p = (p1, p2,…, pn), так что G (x: p) более простая запись.
Существуют также сложные лотереи, такие как
⎧ G1 (x: q) p
G (G1, G2: p) = ⎨, в которой каждый приз является лотереей.
⎩G2 (y: r) 1− p
Примеры. Пусть две простые лотереи - это G1 (x: q), G2 (x: r) и G (G1, G2: p) - составная лотерея. Лотереи таковы, что x = (2,4,6) q = (0,5,0,3,0,2) и = (6,8) r = (0,6,0,4).
± 0,5
Г1 (2,4,6: 0,5,0,3,0,2) = ± 0,3 0,3 Г 2 (6,8: 0,6,0,4) = ± 6,6 Г = = G1 0,5
± 0,2 ± ± 8 0,4 ⎩G2 0,5
Лотерею G можно превратить в простую, если понимать ее как линейную комбинацию лотерей. То есть G = 0.5G1 + 0.5G2, поэтому он принимает следующую простую форму:
P2 p = 0,25
⎪4 p = 0,15
G = ⎪⎨
⎪6 p = 0,40
⎪⎩8 p = 0,20
Обратите внимание, что призовая сумма 6 предлагается в лотереях G1 и G2, поэтому вероятность этого составляет 0,5 (0,2) +0,5 (0,6). Шансы других призов рассчитываются аналогично.
Аксиомы
Теперь, когда идея лотереи освоена, можно представить пять аксиом теории полезности.
Пусть Γ - множество лотерей, относящихся к человеку, и пусть ограниченное множество X - множество возможных неотрицательных результатов для всех лотерей.
Аксиома 1. Полнота. Для всех x, y ∈ X агент может выполнить одну из следующих ситуаций:
• предпочитает топор над y, обозначаемым y x
• предпочитает ay над x, обозначаемым x y
• безразлично между ними (y ≈ x)
Аксиома 2. Транзитивность Это происходит в следующих ситуациях для x, y, z ∈ X:
• x y ∧ y z ⇒ x z
• x ≈ y ∧ y ≈ z ⇒ x ≈ z
Аксиома 3. Сильная независимость. Пусть x, y, z ∈ X и G1, G2 ∈Γ. Эта аксиома указывает на то, что:
x ≈ y ⇒ G1 (x, z: p) ≈ G2 (y, z: p).
Аксиома 4. Измеримость. Пусть x, y, z ∈ X и G∈Γ. Аксиома указывает на то, что
x yz∨ xy z ⇒∃! p такое, что y ≈ G (x, z: p).
Аксиома 5. Выпускной. Пусть четыре результата будут x, y, u, z ∈ X.
Предполагая, что (xyz) ∧ (xuz) согласно аксиоме 4 существуют лотереи G1, G2 ∈Γ такие, что y ≈ G1 (x, z: p) yu ≈ G1 (x, z: q).
Эта аксиома указывает на следующее: Если q ≤ p ⇒ uy.
Теория ожидаемой полезности
Еще два предположения необходимы для разработки теории ожидаемой полезности:
1. Люди всегда предпочитают больше богатства
2. Для человека благоприятные отклонения от среднего богатства не могут компенсировать неблагоприятные отклонения от среднего богатства.
Предположение 1 указывает на логическое состояние людей, которые всегда хотят большего благополучия. Предположение 2 детализирует, что существует риск отвращения к риску, потому что, как бы ни был велик выигрыш, возможность большой потери удерживает людей от неопределенных событий. С этими допущениями и пятью письменными аксиомами развитие теории жизнеспособно.
Вспомогательная функция.
Это скалярная функция, которая определена в наборе результатов X так, что она представляет степени предпочтения для различных результатов, которые фактически представляют уровни благосостояния. В математической форме функция полезности имеет следующий вид:
U: X → ℜ
x → U (x)
Функциональное значение U (x) не имеет значения, поскольку имеет значение сохранение порядка (X, ) в порядке действительных чисел, поэтому возрастающие преобразования, такие как степени или связанные преобразования V (x) = aU (x) + б с а> 0. Чтобы проиллюстрировать эту ситуацию, рассмотрим три варианта: груши, яблоки и апельсины. Есть также человек со следующими предпочтениями о фруктах:
Яблоко, апельсин, груша
Функция полезности человека
U (яблоко) = 12
U (апельсин) = 16 U (груша) = 20
Обратите внимание, что теперь у нас есть реальные цифры, которые можно сравнить, и ясно, что
U (яблоко) <U (оранжевый) <U (груша) = 20
Значения, которые принимает функция полезности, не имеют значения, поскольку важно то, что они сохраняют порядок предпочтений посредством порядка действительных чисел. Таким образом, аффинное преобразование 2 * U (x) +3 эквивалентно функции U (x), поскольку оно сохраняет начальный порядок.
Теорема. Для всех x, y ∈ X функция полезности должна соблюдать порядок предпочтений следующим образом:
U (x)> U (y) ⇒ x y
U (x)
демонстрация
Поскольку X - ограниченное множество, элемент xI = inf (X) называется адом x и является худшим результатом; максимум xP = sup (X) известен как рай x и является лучшим результатом.
Для всех x, y ∈ X имеем xP xxI ∨ xP x xI и xP yxI ∨ xP y xI
Исходя из аксиомы 4, существуют эквивалентности
x≈G1 (xI, xP: p (x)) и y≈G2 (xI, xP: q (y)).
Если U (x) = p (x) и U (y) = q (y), то по аксиоме 5 мы должны:
o U (x)> U (y) ⇒ x и U (x)
Теорема об ожидаемой полезности. Функция полезности используется для сравнения случайных альтернатив через ожидаемую полезность.
демонстрация
Пусть x, y, z ∈ X. Начиная с предыдущих эквивалентностей x≈G1 (xI, xP: p (x)) и y≈G2 (xI, xP: q (y)), составная лотерея строится так, что z≈G (G1, G2: r) как шоу.
⎧ ⎧xP p (x)
⎪ x ≈⎨ r (z) z ≈⎪⎨ ⎩xI 1- p (x)
⎪y ≈⎧⎨xP q (y) 1- r (z)
⎪⎩ ⎩xI 1- q (и)
Тогда z≈G (xP, xI: r (z) p (x) + (1-r (z)) q (x)), и следует помнить, что U (x) = p (x) и
U (y) = q (y), поэтому U (z) = r (z) U (x) + (1-r (z)) U (y), что понимается как
ожидаемая прибыль. В
более общем смысле ожидаемая полезность будущего богатства E = ∑U (xi) pi.
Решение петербургского парадокса
Теорема об ожидаемой полезности решает петербургский парадокс путем нахождения конечного значения.
E
r = 1
Особенности функции полезности
Предпочтение индивидов большему богатству, основанное на предположении 1, подразумевает увеличение функции полезности Это условие эквивалентно тому, что производная функции полезности, известная как предельная полезность, является положительной U (x) /> 0.
Предположение 2 означает, что индивид не склонен к риску, поэтому предельная полезность уменьшается, то есть U (x) // <0, и это условие эквивалентно вогнутой функции полезности.
Примеры. Функция полезности U (x) = x увеличивается и вогнута, поскольку U / (x) = 1> 0 и U // (x) = - 1 x− <0.
2 x 4
Иллюстрация 2 Характеристики корневой функции полезности с убывающей производной.
Однако квадратичная функция полезности U (x) = ax2 + bx + c может быть вогнутой и увеличиваться в зависимости от параметров a, b и c.
Предполагая, что функция увеличивается, следует учитывать, что по мере повышения уровня благополучия достигается точка перегиба, в которой первая производная меняет знак, так что функция полезности увеличивается и вогнута только в интервале
⎡ ⎢⎣0, - 2ba⎤⎥⎦, в то время как для значений, превышающих - 2ba, человек предпочитает все
меньше и меньше богатства.
Служебные функции предоставляют математический инструмент для принятия решений в условиях случайных альтернатив, таких как доходность акций в портфеле. В теме, описанной в этом документе, рациональный инвестор всегда выбирает портфель с самой высокой ожидаемой прибылью.
Доходы и доходы распределяются как обычно.
До этого момента идея функции полезности была представлена как представление предпочтений человека. Предполагалось, что такая функция увеличивает U (x) /> 0 и вогнута U (x) // <0.
Кроме того, приведены примеры функций полезности, таких как корневая и квадратичная функции, но выбор портфеля не должен быть ограничен семейством функций полезности, поэтому необходимо следующее предположение:
Курс. Функция полезности может быть аппроксимирована полиномом Тейлора.
Если x0 - точка в области функции полезности U (x), то
UU k (x0) (x - x0) k
k = 0 k!
Пусть w будет случайной величиной с надеждой µ <∞ и дисперсией σ2 <∞, такой, что она представляет будущую выгоду от инвестиций.
U k (µ) k
Если U (w − µ) сделано, то определить полезность
k = 0 k!
ожидаемое E = ∑k∞ = 0 U kk (! µ) E все
центральные моменты случайной величины w должны быть известны. Этой ситуации избегают, когда функция полезности является квадратичной, поскольку производные порядка, большего или равного трем, отменяются. К сожалению, эта функция не может быть назначена всем инвесторам, поэтому предпочтительно предположить, что w ~ N (µ, σ), поскольку все моменты этой случайной величины получены из первых двух, как показано в приложении., В предположении нормальности для w дополнительные функции не требуются для функции полезности, требуя только того, чтобы она была аппроксимирована полиномом Тейлора, а также была вогнутой и возрастающей.
Предотвращение риска
Вогнутость функции полезности является признаком неприятия риска инвестором, но дополнительную информацию о величине риска, которую инвестор готов терпеть, можно получить с помощью следующих мер:
• Коэффициент Стрелка-Пратта A (x)
• Отвращение к риску R (x)
Предварительный вывод таких мер, концепция истинного эквивалента должна быть известна.
Эквивалентная правда.
Истинный эквивалент неопределенного уровня благосостояния - это определенное количество, так что полезность второго равна ожидаемой полезности первого.
В математических терминах значение C является истинным эквивалентом уровня богатства x, когда U (C) = E или явно C = U −1 (E).
Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим инвестора с функцией полезности
U (x) = −e - x, текущим богатством 10 и новым богатством x = 10 + G таким, что G
1
G = ⎪⎨− 5 с p = 12
⎪ 5 с p = Then
2,
тогда E¨ = - 1 = −0.003369, поэтому истинный эквивалент 2
равен C = -ln (- (- 0.003369)) = 5.6931 и U (C) = 0.003369.
Поэтому инвестору безразлично между 5,69 определенных денежных единиц и новым уровнем благосостояния. Разница между текущим уровнем благосостояния и истинным эквивалентом 10-5.6931 = 4.3069 понимается как страховая премия, которую инвестор заплатил бы, если бы не столкнулся с лотереей G.
Эта разница является мерой абсолютного неприятия риска, и ее развитие заключается в следующем:
Arrow-Pratt коэффициент абсолютного неприятия риска.
Рассмотрим инвестора с функцией полезности U (x), такой, что x является начальным уровнем благосостояния и конечным уровнем благосостояния x + ε, где ε - случайная величина с дисперсией σε2, которая представляет честную игру, поэтому E = 0.
Используя эти данные, мы хотим рассчитать премию Π, которую инвестор заплатил бы, чтобы не столкнуться с неопределенностью конечного уровня благосостояния.
Пусть C - истинный эквивалент x + ε, то есть U (C) = E. Чтобы найти аналитическое выражение для простого числа Π, приближение Тейлора второго порядка проводится вокруг уровня x для U (x + ε).
U (x + ε) = U (x) + U / (x) (x + ε− x) + U // (x) (x + ε− x) 2
Надеемся на это приближение, помня, что x заданное значение
E = U (x) + U / (x) E + U // (x) E = U (x) + U // (x) σε2
Если мы помним, что премия - это разница между текущим уровнем благосостояния и истинным эквивалентом, мы имеем следующее выражение:
Π = x −C ⇒ C = x −Π⇒U (C) = U (x −Π)
Выполнение аппроксимации Тейлора первого порядка вокруг x дает:
U (x −Π) = U (x) + U / (x) (x −Π - x)
Поскольку C является истинным эквивалентом, то U (x −Π) = E, так что, приравнивая приближения, мы имеем:
/// 2/1 2 //
U (x) + U (x) (- Π) = U (x) + U (x) σε ⇒ - ΠU (x) = σεU (x) ⇒
2
//
1 2 U (x) Π = - σε /
2 U (x)
Это простое число prime известно как простое число Эрроу-Пратта, и, поскольку
1σε2 является постоянным, выполняется определение коэффициента неприятия при 2
U // (x) риска Арроу-Пратта A (x) = - /.
U (х)
Производная коэффициента берется для анализа неприятия риска индивида. Если производная является положительной, то человек готов выделить больше ресурсов для рискованных инвестиций. Когда производная отрицательна, тогда существует неприятие риска, что означает, что на рискованные инвестиции будет выделяться все меньше и меньше ресурсов, а если производная равна нулю, то же количество денежных единиц сохраняется в рискованных инвестициях.
Коэффициент неприятия риска
Отклонение от риска указывает на процент богатства, который будет принесен в жертву за то, что он не участвовал в лотерее.
Как и в предыдущем случае, положительная производная показывает, что индивид увеличивает процент богатства, предназначенного для рискованных инвестиций. Если производная отрицательна, тогда существует неприятие риска, более низкий процент богатства будет распределен на рискованные инвестиции, и, если производный инструмент равен нулю, такой же процент денежных единиц сохраняется в рискованных инвестициях. Аналогично коэффициенту Эрроу-Пратта, мы получаем коэффициент
неприятия xU // (x) относительно риска R (x) = - /.
U (х)
Пример: проанализировать человека с помощью служебной функции U (x) = x. Для определения коэффициентов требуются первые две производные по богатству.
U / (x) = 1> 0 и U // (x) = - 1 x− <0. A (x) = −U // (x) = 1 ⇒ A / (x) = - 12 <0
2 x 4 U (x) 2x 2x xU // (x) 1 /
R (x) = - = ⇒ R (x) = 0 U (x) 2
Замечено, что производная от абсолютного коэффициента неприятия риска отрицательна, поэтому человек будет вкладывать больше ресурсов в рискованные активы. Относительная неприязнь к риску постоянна, поэтому человек всегда будет вкладывать один и тот же процент в рискованные активы. На рисунке 3 показано поведение обоих коэффициентов.
ПРЕДОТВРАЩЕНИЕ РИСКА
Рисунок 3. Коэффициенты неприятия риска функции полезности квадратного корня.
Стохастическое доминирование
Если цель состоит в том, чтобы выбирать между различными портфелями на основе показателей риска и эффективности, необходимо определить стохастическое доминирование, чтобы установить критерии принятия решения. Для этого раздела A и B - два разных актива, RA и RB - возвраты и имеют функции распределения FRA (x) и FRB (x) соответственно.
Стохастическое доминирование первого порядка. Актив A доминирует в активе B в этом смысле, когда FRA (x) ≤ FRB (x).
Чтобы понять это определение, необходимо выполнить несколько математических операций, как показано:
FRA (x) ≤ FRB (x) ⇔ −FRB (x) ≤ −FRA (x) ⇔1− FRB (x) ≤1− FRA (x) ⇔ P {RA ≥ x} ≥ P {RB ≥ x}
Другими словами, вероятность получения более высокой прибыли с активом A больше, чем с активом B.
Стохастическое доминирование второго порядка. Актив A доминирует в
этом направлении к активу B, когда FRB (x) dx.
Это определение предполагает неприятие риска со стороны инвестора и означает, что актив A будет предпочтительным, поскольку он накапливает меньшую вероятность в левом хвосте, что является наименее неблагоприятным, несмотря на отказ от более высокой доходности.
Чтобы обосновать эти идеи стохастического доминирования, распределения трех нормальных случайных величин с различными параметрами показаны ниже.
Нормальное распределение Среднее стандартное отклонение
F1 0,1 0,17
F2 0,2 0,17
F3 0,21 0,3
Таблица 3. Нормальное распределение и стохастическое доминирование.
Иллюстрация 4. Стохастическое доминирование.
На рисунке 4 показано, что F2 доминирует над F1 в первом порядке, тогда как F3 доминирует над F2 во втором порядке, так как он накапливает меньшую вероятность в левом хвосте, несмотря на то, что имеет среднее значение, чем F3, и это показывает неприятие риска.
Стохастическая доминанта и функция полезности.
Стохастическое доминирование первого порядка с ожидаемой полезностью. Говорят, что актив A доминирует в активе B в этом смысле, когда
E ≥ E и U /> 0.
Стохастическое доминирование второго порядка с ожидаемой полезностью. Актив A доминирует в активе B в этом смысле, когда E ≥ E и U // <0.
Стохастическое доминирование с ожидаемой полезностью. Если учесть, что
U /> 0 и U // <0, актив A доминирует над активом B, когда E ≥ E.
Последнее определение стохастического доминирования и допущение доходности с нормальным распределением приводит к критериям доминирования, известным как среднее отклонение.
Критерии среднего и дисперсии для стохастического доминирования.
Пусть RA ~ N (µA, σA), RB ~ N (µB, σB), Y ~ N (µ, σ) с U /> 0 и U // <0, и пусть y0 - начальный уровень богатства. Тогда действительны следующие критерии доминирования.
Стохастическое доминирование первого порядка. Актив A доминирует над активом B, когда µA ≥ µB и σA = σB.
Демонстрация.
Y = σZ + µ с Z ~ N (0,1)
Будущий уровень благосостояния составляет y0 (1 + σZ + µ) с ожидаемой прибылью
E.
Взяв частную производную этого ожидания по параметру местоположения µ, мы видим, что он положительный, поэтому ожидаемая полезность возрастает по отношению к среднему значению нормальных возвратов, и сохраняется новое определение стохастического доминирования первого порядка.
е
Edz
2П
∂E / е дг> 0, так как U /> 0. Π
2π
С этим результатом мы имеем следующее правило:
Учитывая уровень риска, выберите актив или портфель с самой высокой доходностью.
Стохастическое доминирование второго порядка. Актив A доминирует над активом B, когда σA ≤σB и µA = µB. Доказательство этого утверждения следует той же тенденции, что и предыдущая, но используется вогнутость функции полезности. Демонстрация.
EE e
= ∫U (y (1 + σz + µ)) zy dz + ∫U (y (1 + σz + µ))
zy dz ∂σ −∞ 0 0 2π 0 0 0 2π
∞ / e ∞ / e
дздз 2π2π
Поскольку U // <0 и U является возрастающей функцией, мы имеем, что частная производная ожидаемой полезности по отношению к стандартному отклонению является отрицательной, поэтому на меньшую волатильность влияет
полезность в меньшей степени.
Тогда неприятие риска U // <0 означает следующее правило:
Учитывая уровень производительности, выберите актив с наименьшим риском.
Чтобы показать эти идеи, у нас есть следующий список активов, которые определены на основе риска и производительности.
АКТИВНЫЙ УРОВЕНЬ РИСКА
A 30% 17%
B 30% 53%
C 30% 19%
D 15% 12%
E -2% 12%
F 18% 12%
Таблица 4. Примеры стохастического доминирования.
Стохастическое доминирование первого порядка.
Чтобы применить этот критерий, уровень риска должен быть установлен. Для активов D, E и F уровень риска составляет 12%, поэтому они упорядочены ниже.
ЭФФЕКТИВНОСТЬ РИСКА АКТИВОВ
F 18% 12%
D 15% 12%
E -2% 12%
Таблица 5. Стохастическое доминирование первого порядка.
В этом отношении актив F доминирует над активами D и E.
Стохастическое доминирование второго порядка.
АКТИВЫ ПОЛЕЗНЫЙ РИСК
A 30% 17%
C 30% 19%
B 30% 53%
Таблица 6. Стохастическое доминирование второго порядка.
В этом случае актив A доминирует над активами C и B благодаря меньшей волатильности при заданном уровне доходности. На иллюстрации II представлены шесть активов. В этот момент возникает вопрос о предпочтении активов A и F. Для ответа на этот вопрос требуется ожидаемая прибыль. Если ожидаемая прибыль актива A больше, чем ожидаемая прибыль актива F, то выбранный актив равен A. Если нет, выберите F.
Иллюстрация 5. Стохастическое доминирование со средним и стандартным отклонением.
3 ЭФФЕКТИВНОСТЬ, РИСК И КОРРЕЛЯЦИЯ
Производительность. Как оправдано, доходность активов распределяется в обычном порядке, поэтому сейчас пришло время определить их на основе цены акций, предполагая, что дивиденды не выплачиваются.
Пусть St будет ценой актива в день t. Таким образом, доходность
актива в этот день составляет Rt = ln⎛⎜⎜⎝ SSt - t1 ⎞⎟⎟⎠.
Выполняя приближение Тейлора первого порядка относительно предыдущей цены, мы получаем другое определение доходности, которое учитывает процентное отклонение.
ln⎜⎜⎛⎝ SSt - t1 ⎞⎟⎟⎠ ≈ ln⎛⎜⎝⎜ SStt −− 11 ⎟⎞⎟⎠ + S1t - 1 SStt −− 11 (St - St - 1) ⇒ Rt ≈ St S - t - S1t -1
Однако с теоретической точки зрения использование этого приближения приводит к положительным вероятностям для отрицательных цен, поскольку Rt обычно распределяется, когда
St - St - 1 1⇔ St - St - 1 <−St - 1 ⇔ St <0, начиная с St-1> 0.
Rt → −∞ ⇒ <-
St - 1
С использованием логарифмических возвращений эта теоретическая деталь сохраняется, потому что когда ln⎛⎜⎜⎝ SSt - t1 ⎞⎟⎟⎠ → −∞ ⇒ SSt - t1 → 0 ⇒ St → 0 ⇒ St> 0, поэтому никогда не бывает
отрицательных цен, поскольку они ниже нуля.
Другое преимущество логарифмической доходности состоит в том, что они могут быть добавлены путем облегчения представления среднегодовой доходности. Доходность за n периодов определяется как
ln⎜⎜⎝⎛ SSt - tn ⎞⎟⎟⎠ = ln⎛⎜⎜⎝ SSt - t1 SStt −− 12 SSt - t - nn + 1 ⎟⎞⎟⎠ = ∑kn = - 10 Rt - k
Как правило, считается, что год имеет 250 дней для фондового рынка, поэтому, имея оценку средней дневной доходности E, он просто умножается на это количество дней, чтобы получить среднегодовую доходность.
Из параметрической статистики установлено, что максимальная оценка
T
∑R i, вероятная
для средней доходности, равна µ = i = 1 для выборки
T
размера T.
Ясно, что производительность актива не может быть меньше –1 и что у него нет более высоких уровней, но предположение о нормальности все еще жизнеспособно, поскольку активу трудно слишком сильно измениться за короткий период времени.
Стандартное отклонение
Стандартное отклонение указывает на дисперсию вокруг средней доходности наблюдений и служит оценкой риска, который представляют инвестиции в актив. Максимальная правдоподобная оценка
стандартного отклонения, но оценка, которая будет
использоваться в следующем, заключается в том, что она несмещена.
Существует множество методов оценки стандартного отклонения, и среди них есть модели GARCH, которые воспринимают изменения условной дисперсии во времени, но безусловная дисперсия остается постоянной. Другими словами, случайный процесс, сопровождаемый действиями, не является стационарным локально, но он асимптотичен.
Чтобы определить годовую волатильность, необходимо рассмотреть правило квадратного корня и, чтобы объяснить эту идею, предположим, что имеется T наблюдений за активом, которые считаются независимыми из-за предположения эффективного рынка.
Если R1, R2,…, RT - независимые наблюдения с дисперсией σ2, то совокупность этих переменных является доходностью за
период T дней T, так что дисперсия ∑Rt, которая является суммой
дисперсий t = 1 возвращается индивидуально, учитывая независимость.
Var⎛⎜∑T Rt ⎞⎟ = ∑T Var (Rt) = Tσ2 ⇒ det.est⎜⎛∑T Rt ⎞⎟ = Tσ
⎝ t = 1 ⎠ t = 1 ⎝ t = 1 ⎠
Другими словами, волатильность для периода T является квадратным корнем этого периода по дневной волатильности. Чтобы определить годовую волатильность в годовом исчислении, ее необходимо умножить на корень 250, который является числом дней, в течение которых рынок активен.
Короткие продажи
Для предпринимателей правило покупки по низкой цене и продажи по высокой распространено и необходимо для жизнеспособности фирмы. Для этого портфельного инвестора, в дополнение к этому правилу, могут быть выполнены следующие условия: продавать дорого и покупать дешево, что связано с возможностью коротких продаж.
Для лучшего объяснения этой концепции необходимо понимать значения длинной позиции и короткой позиции.
Длинная позиция. Длинная позиция в активе предполагается, когда вы делаете ставку на его рост. Другими словами, увеличение стоимости имущества приносит пользу владельцу. В этом смысле владелец покупает дешево с надеждой продать дорого.
Например, у вас есть длинная позиция в будущем. Если на дату поставки цена за наличный расчет базового актива превышает цену доставки, то покупатель получит прибыль за счет увеличения цены базового актива.
Короткая позиция. Короткая позиция подразумевает возможность получения прибыли на падающем рынке. Другими словами, владелец короткой позиции выигрывает, если цена актива падает, и примером является продажа будущего.
Короткая продажа. Частным случаем короткой позиции является короткая продажа. Эта идея может быть объяснена из следующих шагов:
• Кредитовать актив с обещанием доставить его через определенный период времени T.
• Во время получения актива он продается за сумму S0.
• По истечении срока актив должен быть куплен по цене ST и доставлен первоначальному владельцу.
Принято во внимание, что короткие продажи означают продажу актива, который не принадлежит, и эта операция приносит прибыль, когда цена актива уменьшается. Другими словами, он будет выигран, когда S0> ST и полученная прибыль S0 - ST.
Короткие продажи связаны с высокими рисками, потому что прибыль ограничена, так как цена может уменьшиться только до нуля, тогда как потеря может быть неограниченной, когда цена стремится к бесконечности.
Обратите внимание, что денежный поток этой операции всегда отрицателен, так как он равен –S0 в начале и -ST в конце. Любопытно, что норма прибыли отрицательна, когда у вас есть прибыль, так как в этом случае
T ST - S0 0, но поскольку начальные инвестиции равны –S0, у вас
S0> S ⇒ <
S0
положительная прибыль - S0 ST - S0 = S0 - ST> 0.
S0
следует отметить, что на практике короткие продажи требуют гарантий, закупленных высоким риском, который они представляют. Кроме того, если в период времени, когда действие взято в кредит, происходит выплата дивидендов, они должны быть выплачены владельцу. На рисунке 5 показана оплата короткой продажи.
Пример короткой продажи.
Предположим, что экономический агент владеет 1000 акций эмитента А, которые в настоящее время торгуются по 25 валютным единицам. Короткая продажа иллюстрируется следующим образом:
• Инвестор запрашивает эти акции у агента с обещанием доставить их в течение семи дней.
• Инвестор продает эти акции по текущей цене 25, получая 25 000 денежных единиц, которые могут инвестировать или не инвестировать в другие инструменты, по которым он будет длинным.
• Через семь дней инвестор покупает 1000 акций Эмитента А по цене 24 д.е. и возвращает их агенту, получая прибыль в размере 1 000 д.е.
4 ПОРТФЕЛЬ ИНВЕСТИЦИЙ
Из определения длинной и короткой позиции может быть сформулировано новое определение портфеля:
Кошелек. Это набор финансовых инструментов, в которых у вас есть позиция.
Следующие предположения действительны с этого момента:
1. Количество станций конечно.
2. Общее количество акций эмитентов постоянно.
3. Нет слияний и банкротств.
4. Переговоры ведутся непрерывно.
5. Никаких трансакционных издержек, налогов или делимости акций нет.
6. Нет выплаты дивидендов.
Сначала рассмотрим N инструментов S1, S2,…, SN с доходностью
R1, R2,…, RN. Пусть wi - это
процент на единицу, который назначен для актива Si, поэтому ясно, что ∑wi = 1.
i = 1
Найти оптимальный выбор портфеля означает найти комбинацию весов или весов, чтобы они минимизировали риск с учетом уровня доходности. Для этого вы должны сначала определить производительность и риск портфеля. Значение wi также известно как вес или вес актива Si.
Доходность портфеля. Доходность портфеля, обозначаемая RP, является средневзвешенной доходностью активов.
RP = w1R1 + w2 R2 +… + wN RN
Ожидаемая доходность портфеля - это средневзвешенная ожидаемая доходность активов.
E = w1E + w2 E +… + wN E
Портфельный риск. Риск оценивается из стандартного отклонения, которое является квадратным корнем дисперсии. Дисперсия портфеля содержит понятие матрицы ковариаций доходностей актива, который имеет следующий вид:
⎡σ12
⎢
Е = ⎢σ21
⎢
⎢
⎢⎣σn1 σ12 σ22
σn2 σ1n ⎤
⎥
σ2n ⎥
⎥
σn2 ⎥⎥⎦
где σi2 - дисперсия доходности i-го актива, а σij - ковариация между активами i, j с i ≠ j.
На основе производительности портфеля RP = w1R1 + w2 R2 +… + wN RN получается дисперсия, обозначаемая σP2.
N
wiwjσij
i = 1 i ≠ j
Дисперсия портфеля может быть показана в виде матрицы, и для
⎡ w1 ⎤
⎢ defined
она определяется вектором W = ⎢w2 ⎥, который содержит все веса
активного
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣wN ⎦
Тогда дисперсия выражается в виде следующей квадратичной формы:
σP2 = W / ΣW
Волатильность просто σP = W / ΣW и также следует корню правила времени для периода T дней σP = TW / ΣW.
Примеры возврата и риска портфеля. Чтобы проиллюстрировать эти идеи, рассматриваются два актива S1 и S2 со следующими данными:
E = 0,15
E = 0,12 σ1 = 0,21⇒σ12 = 0,0441 σ2 = 0,17 ⇒σ22 = 0,0289 σ12 = 0,01785
w1 = 0,3
w2 = 0,7
Таким образом, доходность портфеля составляет 12,9%.
E = w1E + w2E = 0,3 * 0,15 + 0,7 * 0,12 = 0,129
и волатильность портфеля составляет 16,08%
σP2 = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2σ12 = (0,3) 2 (0,0441) + (0,7) 2 (0,0289) +2 (0,3) (0,7) (0,01785) = 0,025627 σP = 0,1608
Теперь предположим, что у вас есть первоначальная сумма в 1 000 000 д.е., а актив S1 продан коротко, получив дополнительно 300 000 д.е. после операции, поэтому у вас теперь есть 1 300 000 д.е., которые вложены в S2. Таким образом, вес актива S1 равен w1 = −300000 = −0.3, что является отрицательным значением, поскольку
1000000
этот инструмент был заимствован и может рассматриваться как обязательство.
Вес актива S2 равен w2 = 1 300 000 = 1,3, поскольку первоначальная сумма в
1 000 000
плюс сумма, полученная от короткой продажи, были сданы на хранение.
Ясно, что w1 + w2 = -0,3 + 1,3 = 1, и делается вывод, что короткая продажа подразумевает отрицательный вес для этого актива.
С этими новыми весами или весами доходность составляет 11,1% E = w1E + w2E = -0,3 * 0,15 + 1,3 * 0,12 = 0,111, а стандартное отклонение составляет 19,71%.
σP2 = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2σ12 = (- 0,3) 2 (0,0441) + (1,3) 2 (0,0289) + 2 (−0,3) (1,3) (0,01785) = 0,3888 σP = 0,1971
До этого момента мало внимания уделялось ковариации рыночных активов, поскольку она упоминалась только как часть формулы, а не как ключевой фактор для хорошей диверсификации. Ковариация и корреляция измеряют зависимость активов и формируют основу для диверсификации, поэтому требуется более детальное изучение таких мер зависимости.
Ковариации. При i, j∈ {1,2,…, N} пусть Si и Sj будут ценами двух активов с доходностью Ri и Rj. Ковариация между активами определяется как σij = E) (Rj - E)] и имеет характеристики внутреннего продукта, но указаны два свойства, представляющие интерес:
1. σii = σi2
2. σij = σji, поэтому матрица Σ симметрична.
Знак ковариации и ее аннулирование предоставляют информацию о зависимости активов Si и Sj, как указано:
• σij> 0 Это означает, что в среднем, когда один актив приносит большую или меньшую среднюю доходность, другой будет стремиться к той же схеме. Другими словами, Si сопровождает Sj, когда последний ценит или обесценивает.
• σij <0 Это означает, что в среднем, когда один актив дает доход ниже или выше его среднего значения, другой будет иметь тенденцию к развороту в каждом случае.
• σij = 0 В этом случае четкая связь по активам не может быть установлена.
T
∑ (Rit - E) (Rjt - E).
Оценка ковариации составляет σ = ij = t = 1 для наблюдений T
T,
где Rit - это возврат актива i в день t.
Корреляция. Ковариация зависит от величины случайной величины, поэтому предпочтительной является стандартизированная мера. Такая мера зависимости находится в корреляции, определенной следующим образом:
σij
ρij = дополнительно −1≤ ρij ≤1 σiσj
Чтобы проиллюстрировать важность корреляции, рассмотрим портфель из двух активов S1 и S2 со следующими данными:
E = 0,12 E = 0,15
σ1 = 0,17 ⇒σ12 = 0,0289
σ2 = 0,21⇒σ22 = 0,0441
Дисперсия портфеля равна σP2 = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2σ12, и из равенства σ12 = σ1σ2ρ12 получена новая формула для дисперсии портфеля.
σP2 = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2σ1σ2ρ12
Если вес активов и корреляция изменяются, получается следующий график:
Иллюстрация 6. За счет уменьшения корреляции достигается лучшая доходность для уровня риска.
Замечено, что по мере уменьшения корреляции можно найти лучшую доходность для уровня риска. Поэтому предпочтительно, чтобы портфели имели отрицательно коррелированные активы.
Было упомянуто, что ковариация обладает свойствами внутреннего произведения, и это делает корреляцию мерой линейной зависимости. Геометрическую интерпретацию корреляции можно увидеть с помощью следующих преобразований в формуле
σP2 = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2σ1σ2ρ12.
a = σP b = w1σ1 c = w2σ2
Тогда, используя закон косинусов для треугольника a, b, c, получаем равенство a2 = b2 + c2 - 2bccos (θ), из которого получается, что cos (θ) = −ρ12, а θ - угол между сторонами б и в.
Экономическая интерпретация заключается в том, что сторона a является волатильностью портфеля, и эта сторона растет с ростом корреляции. Когда корреляция равна нулю, мы имеем a2 = b2 + c2, что является теоремой Пифагора, и волатильность портфеля можно рассматривать как гипотенузу треугольника.
Следует пояснить, что корреляция является мерой линейной зависимости, поэтому она имеет ограничения, когда активы имеют нелинейную связь, как показано в следующем примере:
Пусть V1 ~ U (-1,1) и V2 = 1 - V12
Можно доказать, что E = 0 и E = 0, так что σV1V2 = 0, и у нас есть случайные величины с нулевой ковариацией, но они связаны нелинейным образом, потому что V12 + V22 = 1.
Дисперсия портфеля как функция весов
За счет включения определений стохастического доминирования возникла необходимость достижения для портфеля самого низкого риска с учетом ожидаемого уровня доходности. Затем возникает проблема оптимизации, в которой целевой переменной является дисперсия портфеля, и вы можете иметь множество ограничений, таких как запрет коротких продаж. Первым шагом в решении этой проблемы оптимизации является изучение дисперсии как функции весов активов.
N
Дисперсия портфеля равна ij, что в матричной форме
i = 1 i ≠ j
равно σP2 = W / ΣW, где W - вектор весов, а Σ - матрица дисперсий и ковариаций.
В предположении, что входные данные Σ являются постоянными, тогда дисперсия является функцией весов активов
σP2 = f (w1, w2,…, wN).
С этого момента желателен дополнительный уровень абстракции, помещая среднюю доходность и веса активов в векторы, как показано ниже, вместе со вспомогательным вектором.
⎡ E ⎤ ⎡w1 ⎡ ⎤1⎤
⎢E w 1
R = ⎢ ⎥ W = ⎢ ⎥ I = ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎥
⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢
⎦E⎦ ⎣wN ⎦ ⎣1⎦
Исходя из разных стратегических или правовых требований, существуют разные проблемы оптимизации. Ниже приведены некоторые из них.
minσP2 = W / ΣW
sa
W / R = EW / I = 1
Эта проблема стремится минимизировать риск, связанный с заданным уровнем производительности и ограничением, которое веса или веса складывают в единицу.
minσP2 = W / ΣW
sa
W / R = EW / I = 1
wi ≥ 0 ∀i
В этой проблеме есть другие ограничения N, когда короткие продажи запрещены, так как, как известно, короткие продажи подразумевают отрицательный вес. Следует отметить, что Марковиц сделал незаконные портфели с короткими продажами.
Более общей проблемой является та, которая вызывает включение весов с интервалами, определенными властями, как это имеет место в Мексике с портфелями SIEFORE.
minσP2 = W / ΣW
sa
W / R = EW / I = 1
δi ≤ wi ≤γi ∀i
Первая проблема может быть решена с помощью множителей Лагранжа дифференциального исчисления, в то время как следующие задачи относятся к области нелинейного программирования.
В обоих случаях изучение характеристик целевой функции и множества, порождающих ограничения, имеет важное значение для построения эффективной границы.
Эффективное портфолио.
Когда одна из задач оптимизации, описанных выше, решена, эффективный портфель был определен. Другими словами, для данного уровня производительности был получен портфель с наименьшим риском.
Эффективная граница. Когда любая проблема оптимизации портфелей решается для всех возможных уровней ожидаемой доходности, генерируемые точки образуют эффективную границу, если они имеют экономическое значение.
Для простоты понимания дальнейших тем дано решение проблемы, в которой разрешены короткие продажи. Для этого показан краткий обзор анализа выпуклости, и эти идеи применяются к настоящей финансовой проблеме.
Выпуклый анализ
Выпуклость является общей чертой в задачах оптимизации. Построение эффективной границы без безрисковых активов подразумевает решение двух задач оптимизации, исходя из решения таких задач и в силу теоремы о двух фондах, которая будет представлена ниже, любой эффективный портфель получается. Следующие определения и результаты составляют математическое обоснование для построения эффективной границы.
Выпуклый набор. Множество E ⊆ ℜN является выпуклым, если задано x, y∈E ⇒αx + (1 - α) y∈E с α∈.
Интуитивно понятно, что выпуклое множество - это то, в котором для заданных двух его точек отрезок, соединяющий их, является его подмножеством.
Точка αx + (1 - α) y∈E называется выпуклой комбинацией и может быть обобщена как α1 × 1 + α2 × 2 +,.., + αnxn ∈ E для n элементов x1, x2,.., xn ∈ E и
n для n скаляров α1, α2,.., αn ≥ 0 таких, что ∑αi = 1.
i = 1
В качестве примеров множеств такого типа мы имеем треугольники, вещественную линию и вообще ℜN, но также (ℜ + ∪ {0}) N.
Выпуклая функция. Функция f: → n → ℜ, определенная в выпуклом множестве E, является выпуклой, если для x, y∈E и α∈ имеем следующее неравенство:
f (αx + (1 - α) y) ≤αf (x) + (1 - α) f (y)
В случае дважды дифференцируемых функций во всем множестве E следующая теорема представляет альтернативное определение выпуклой функции, которое будет адекватным целям, преследуемым в этих примечаниях.
Теорема. Пусть функция f: RN → R дважды дифференцируема, определенная на выпуклом множестве. Эта функция является выпуклой тогда и только тогда, когда она имеет определенную полуположительную H (x) матрицу Гессе.
Пример N Функция дисперсии портфеля ij
i = 1 i ≠ j является выпуклой.
Тест
2σ 2
j ij wjσij
∂w ≠ ij = 1
ij
∂2σ2
P = 2σij
∂wj∂wi
Это означает, что первая производная квадратичной формы σP2 = W / ΣW равна 2ΣW, а вторая производная - 2Σ, которая является неособой матрицей.
Таким образом, гессиан дисперсии портфеля является положительной матрицей, определяемой как двойная ковариационная матрица, поэтому можно утверждать, что дисперсия портфеля является строго функцией
выпукло.
12σ12
⎢
H = 2 * 21σ21
⎢
⎢σn1
σ12 σ22
σn2 σ1n ⎤
⎥
σσn ⎥
⎥
⎥
σn2 ⎥⎦
Теорема. (Единственность). Учитывая следующую задачу оптимизации:
min f (x)
sa x ∈ E
Где f: ℜn → ℜ - строго выпуклая функция, а множество E выпуклое, тогда задача оптимизации имеет не более минимизатора.
Демонстрация.
Предположим, что a, b∈E - два разных решения, то есть f (a) = f (b) ≤f (x) ∀x ∈E, поскольку f выпуклая, поэтому f (αa + (1- α) b) <αf (a) + (1- α) f (b) = f (a) = f (b)! для α∈ (0,1).
Противоречие заключается в том, что точка αa + (1- α) b∈ E так, что будет значение меньше минимального.
С этого момента цель состоит в том, чтобы создать эффективную границу, и для этого используются множители Лагранжа, поскольку уже известно, что дисперсия портфеля имеет уникальные минимумы.
Эффективная граница
Как было доказано, дисперсия портфеля является строго выпуклой функцией, поэтому при ее минимизации не будет технических деталей с найденными решениями, пока ограничения образуют выпуклое множество.
minσP2 = W / ΣW
sa
W / R = EW / I = 1
Удобно отметить, что минимизация σP2 эквивалентна минимизации
1σP2, поэтому для решения этого последнего случая
в функции Лагранжа рассматриваются два 2 скаляра λ1 и λ2.
L (w1,.., wN, λ1, λ2) = W / ΣW + λ1 (E −W / R) + λ2 (1 - W / I)
Производная квадратичной формы равна 2ΣW, поэтому при выводе функции L по ее аргументам и нулю мы имеем:
ΣW = λ1R + λ2 I
E = W / R 1 = W / I
Первое из этих трех последних уравнений показывает общий вид эффективной границы и важную теорему о двух фондах.
ΣW = λ1R + λ2 I ⇒ W = λ1Σ - 1R + λ2Σ - 1I
Интересные отношения получены из решения задачи оптимизации, и для удобства определены следующие термины:
A = R / Σ - 1I
B = R / Σ - 1R
C = I / Σ - 1I D = BC - A2
Если решение умножается на лево на транспонированный вектор доходности и на вектор I /, тогда мы имеем
R / W = λ1R / Σ - 1R + λ2 R / Σ - 1I I / W = λ1I / Σ - 1R + λ2 I / Σ - 1I
В действительности то, что было получено, представляет собой систему уравнений, решения которой приводят к геометрической интерпретации эффективной границы.
Bλ1 + Aλ2 = E, где λ1 = CE - A и λ2 = B - AE.
Aλ1 + Cλ2 = 1 DD
Умножая слева вектор, транспонированный из весов в равенство ΣW = λ1R + λ2 I, мы получаем тождество для дисперсии портфеля.
W / ΣW = λ1W / R + λ2W / I
CE 2 - AE B - AE
σP2 = λ1E + λ2 = PP + P
DD
CE 2 2AE B
σP2 = P - P +
DDD
Это последнее равенство соответствует параболе в плоскости половинной дисперсии, Минимум этой функции получается через производную от дисперсии по средней производительности.
g A
2 E =
dσP = 2 CE - A = 0 ⇒ C
dE D σPg2 = 1
C,
где верхний индекс g указывает, что это глобальный портфель минимальных отклонений.
Тот же результат получается, если рассматривать эффективную границу как гиперболу в плоскости стандартного отклонения.
2 CE 2 2AED DB CD ⎜⎜⎛E 2 - 2 CA E + CA22 ⎟⎟⎞⎠ + C1 ⇔
σP = - + ⇔
D ⎝
⎛⎜E - A⎞⎟
2
σP ⎝ C ⎠
- = 1
1 D
CC 2
Глобальный портфель минимальных отклонений
Портфель, расположенный в вершинах параболы и гиперболы, представляет собой комбинацию наименее рискованных активов независимо от желаемой доходности.
Производительность, дисперсия и стандартное отклонение этого портфеля:
E g
σPg2
σPg
Вектор весов в этом портфеле будет обозначаться как W gy, и для его определения мы должны найти множители Лагранжа, соответствующие E g, и они будут:
1 Σ - 1I λ1g = 0 λ2g = ⇒W g = из решения W = λ1Σ - 1R + λ2Σ - 1I.
ОКРУГ КОЛУМБИЯ
Теорема о двух фондах. Весовые векторы двух эффективных портфелей могут быть установлены таким образом, чтобы из этих двух исходных портфелей генерировался любой эффективный портфель. Это означает, что эффективную границу можно создать из двух фондов.
W = αW d + (1 - α) W g
Демонстрация.
Эффективные веса портфеля принимают форму
W = λ1Σ - 1R + λ2Σ - 1I
−1 −1
Делая W d = Σ R и W g = Σ I, мы имеем, что W = λ1 AW d + λ2CW g в
AC,
что, как уже наблюдалось, λ1 A + λ2C = 1.
Создание α = λ1 A ⇒ 1 - α = λ2C дает желаемый результат, поэтому любой весовой вектор эффективного портфеля является
линейной комбинацией двух других эффективных портфелей. Technique Использование метода инвестиционного портфеля
Чтобы продемонстрировать эту технику, был разработан портфель из трех активов и применены методы, разработанные в предыдущих пунктах.
Предположим, экономика с тремя рискованными активами, чья доходность и ковариационная матрица представлены ниже:
E = 0,14 ⎡ 0,23 0,02 -0,10⎤ ⎡ 9,71
E = 0,11 Σ = ⎢⎢ 0,02 0,15 0,10 ⎥⎥ ⇒Σ - 1 = ⎢⎢− 8,39
E = 0,13 ⎢⎣ - 0,10 0,10 0,17 ⎢⎣ 10,64
- 8,39 10,64 ⎤
.22
18,22 −15,65
⎥
-15,65 21,35 first
Первым шагом является определение констант A, B, C и D, а затем определение векторов W d и W g.
A = ⎢⎢− 8,39
⎢⎣10,64 - 8,39 10,64 ⎤⎡1⎤
⎥⎢.22
18,22 −15,65 1 = 3,1584
⎥⎢ ⎥ −15,65 21,35 ⎥⎦⎢⎣1⎥⎦
B = ⎢⎢− 8,39
⎢⎣10,64 - 8,39 10,64 ⎤0.14⎤
⎥.22
18.22 −15.65 0.11 = 0.4829 ⎥⎢
⎥ −15.65
21.35 ⎥⎦⎢⎣0.13⎥⎦
C = ⎢⎢− 8.39 18.22
⎢⎣10.64 −15.65 10.64 ⎤⎡1⎤
⎥⎢ 15
−15.65 1 = 22,4796
⎥
21,35 ⎥⎦⎢⎣1⎥⎦
D = BC - A2 = 0,2053
⎡ 9,71 - 8,39 10,64 ⎤⎡0,14
⎢ ⎥⎢ ⎥ - 8,39 18,22–15,65 0,11
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ 0,5761 ⎤
d ⎤10,64 - 15.65 21.35 ⎥⎦0.13⎥⎦ ⎢ ⎥
W = = −0.3816
A ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0.8055 ⎥⎦
.7 9,71 - 8,39
⎢
- 8,39 18,22
⎢
g.610,64 −15,65
W =
C
Наблюдения:
10,64 ⎤⎡1⎤
⎥⎢ ⎥
−15,65 1
⎥⎢ ⎥ 32 0,5321 ⎤
21,35 ⎥⎦⎢⎣1⎥⎦ ⎢ −
= −0,2591
⎢⎣ ⎥
⎢⎣ 0,7270 ⎥⎦
• w1g + w2g + w3g = 0,5321−0,2591 + 0,7270 = 1.
• Актив 2 продан с коротким сроком, а выручка от этой операции направляется в активы 1 и 3.
Минимальная доходность и минимальная дисперсия, не зависящая от ожидаемой доходности портфеля:
σPg2 = 0.02
⎢⎣ - 0.10 0.02
0.15
0.10 −0.10⎤⎡ 0.5321
⎤ ⎥⎢
0.10 −0.2591 =
0.0445 ⎥
0.17 ⎥⎦⎢⎣ 0.7270 ⎥⎦
Пара (σPg, RPg) = (0,2110, 0,1405) является первой точкой эффективной границы.
По теореме о двух фондах эффективная граница строится из следующей линейной комбинации, как показано на рисунке 7:
⎡ 0,5761 ⎡ ⎡ 0,5321 ⎤
Wα = α⎢ - 0.3816⎥ + (1 - α) ⎢ - 0.2591⎥ α∈ℜ
⎢ ⎥ ⎥ ⎢⎣
80 0.8055 ⎥⎦ ⎢⎣ 0.7270 ⎥⎦
Иллюстрация 7. Эффективная граница - это гипербола в плоскости волатильности.
Ожидаемая прибыль и эффективные портфели
Чтобы узнать, какой эффективный пограничный портфель следует учитывать при инвестировании, используются кривые безразличия ожидаемой прибыли.
Точка соприкосновения между некоторой кривой безразличия и эффективной границей будет тем, что индивид будет стохастически доминировать над другими и будет лучшим выбором индивида.
Таким образом, ожидаемая полезность позволяет принимать решения между эффективными инвестиционными портфелями и первой частью этого материала. Тот же процесс встречается при построении линии рынка капитала в следующих параграфах.
Предположение о гауссовых доходах позволяет людям иметь разные функции полезности и, следовательно, разные точки соприкосновения с эффективной границей. Еще раз, эта ситуация имеет большое значение в моделях равновесия, что будет оценено с CAPM.
Иллюстрация 8. Портфель выбран касательной к некоторой кривой безразличия ожидаемой прибыли.
Включение безрисковых активов
До этого момента только рискованные активы рассматривались как акции, но в них могут быть включены безрисковые активы, такие как ГКО, банковский счет или Cetes de México.
Безрисковый актив обозначается как S0, поэтому сейчас существует N + 1 инструментов. Этот безрисковый актив предлагает известный доход RL.
С включением этого актива будет интересно узнать, есть ли изменения в эффективной границе, поскольку теперь вы можете создать портфель с портфелем рискованных активов и безрискового актива.
Ответ на эту проблему получается путем решения новой задачи оптимизации. Предполагается, что вы можете брать и брать кредиты по безрисковой ставке.
E - RL maxTan (θ) = σP
Чтобы определить эффективную границу с рискованными активами и безрисковой ставкой, мы должны максимизировать тангенс угла, образованного линией, соединяющей безрисковую ставку и любой портфель рискованных активов.
N
∑wi (E - RL)
Tan (θ) = i = 1 это выражение выводится относительно wi
NN
∑∑wi wjσij
i = = 1 j 1
и затем равно нулю.
NN
∑wi (E - RL) ∑wjσij
i = 1 j = 1
= 2 = 0 ⇒
∂wi σP
NN
∑wi (E - RL) ∑wjσij
i = 1 2 j = 1 = E - RL
σP
N
∑wi (E - RL) N ξ = i = 1 2 ⇒ ∑ξwjσij = E - RL ∀i
σP j = 1
Если выполнено vj = ξwj, то можно выразить систему, которая легко решается, как наблюдается.
12σ12 σ12
⎢ 2
⎢σ21 σ2
⎢
⎢σN1 σN2
σ1N ⎤⎡v1 ⎡ ⎡ E - RL ⎤
⎥⎢ ⎥ ⎢ σ2N ⎥⎢v2 ⎥ = ⎢ E - RL ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥⎢ ⎥ σ σN ⎥⎦⎣vN ⎦ ⎣ E - RL ⎦
Однако значения, полученные из решения этой системы, нельзя считать весами или весами, поэтому их необходимо нормализовать для получения весов рыночного портфеля WM с входными данными wiM = Nvi ⇒ N.
∑vi я = 1
я = 1
Из этих процентов определяются волатильность σM и средняя доходность рынка E, а затем строится линия рынка капитала (LMC) вместе с безрисковой ставкой. Наклон ЛКМ равен E - RL, а уравнение в форме точки и наклона
σM
равно E = RL + E - RL σP. σM
Нижняя теорема
Весь портфель в линейке рынка капитала построен из линейной комбинации между рыночным портфелем и безрисковым активом.
Демонстрация.
Этот результат получается путем решения задачи оптимизации с помощью множителей Лагранжа.
minσP2 = W / ΣW
s ~.a. ~ где W ~ = ⎡w0 ⎤ R ~ = ⎡⎢RL ⎥⎤ ~ I = ⎡⎢1⎤⎥
⎢ ⎢
W / R = E ⎣W ⎦ ⎣ R ⎦ ⎣I⎦
W ~ / ~ I = 1
На основании этих векторов получены следующие равенства:
ΣW = λ1R + λ2 I −λ2 −λ1RL = 0
Применяя математические приемы, мы получаем, что каждый вектор CML имеет вид
⎡1⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢ ⎥ ⎢
~ W ~ = α⎢0⎥ + (1 - α) ⎢w1M ⎥ α∈ℜ
⎢⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ M ⎥
⎣0⎦ ⎣wN ⎦
На рисунке 9 показана комбинация 10% безрисковой ставки и эффективных пограничных портфелей экономики с тремя активами, описанной выше. В результате получается Линия рынка капитала (LMC).
Принимая во внимание те же данные для экономии трех активов, добавляется безрисковая ставка в размере 10%, и CML определяется в соответствии с наблюдаемыми показателями.
⎡ 0,23 0,02 −0,10⎤⎡v1 ⎤
⎢ ⎥⎢
0,02 0,15 0,10 v2 ⎥
⎢ ⎥⎢
⎥⎢ - 0,10 0,10 0,17 7v3
3.140,14 -0,100 ⎡v1 ⎡ 0,6237 ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = 0.11−0.10 ⇒ v2 ⎥ = ⎢ - 0.6230⎥
⎢ ⎥ ⎢
.130.13 −0.10⎥⎦ ⎢⎣v3 ⎥⎦.90 0.9098 ⎥⎦
Как видно, v1 + v2 + v3 = 0,6237 -0,6230 +0,9098 = 0,9105 ≠ 1, поэтому он нормализован для получения весов рыночного портфеля и, таким образом, решения проблемы.
w1M == 0,6850 w2M == -0,6842 и w3M == 0,9992.
На основе этих весов
получается рыночная производительность E = 0,14 * 0,6850 + 0,11 * (- 0,6842) + 0,13 * 0,9992 = 0,1505 вместе с волатильностью σM = 0,2356. Линия рынка капитала имеет следующее уравнение RP = 0.10 + 0. σP.
Иллюстрация 9. Безрисковый актив порождает линию рынка капитала.
5 МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ КАПИТАЛЬНЫХ АКТИВОВ (CAPM)
Модель оценки капитальных активов (CAPM и далее) стремится объяснить эффективность актива с точки зрения рыночного риска, учитывая, помимо прочего, что инвесторы в экономике составляют свои портфели в соответствии с современной теорией портфеля и которые имеют однородные ожидания.
Ограничения диверсификации.
Диверсификация очень полезна для снижения риска инвестиционного портфеля. Однако этот механизм обработки риска ограничен, что можно увидеть при построении следующего портфеля: Предположим, что набор из N рискованных активов таков, что в парах они имеют среднюю ковариационную полноту, которая предполагается положительной, дисперсия каждого актива равна то же самое для всех, и вес i-го актива равен 1 = wi. Таким образом, дисперсия этого портфеля является
N
константой на пределе.
2 N ⎛ 1 ⎞ 2 2 1 1 ⎛ 1 ⎞ 2 N 2 2 σ 2 ⎛ 1 ⎞
σ N = ∑i = 1 ⎜⎝ N ⎟⎠ σ + 2∑i ≠ j NN cov m = ⎝⎜ N ⎟⎠ ∑ i = 1 σ + N 2 ∑i ≠ j cov m = N + ⎜⎝1 - N ⎠⎟ cov m
σ 2 ⎛ 1 ⎞
+ ⎜1 - ⎟ cov m = cov m
N ⎝ N ⎠
Это означает, что чем больше количество активов, тем меньше дисперсия портфеля, но диверсификация ограничена, так что всегда есть риск, независимо от количества активов в портфеле рискованных активов. Это наблюдение приводит к следующим определениям риска:
Диверсифицируемый риск.
Это тот, который потенциально устраняется путем диверсификации и зависит от конкретных характеристик станции. Важно отметить, что рыночный портфель имеет максимально возможную диверсификацию, поэтому оставшийся риск порождает систематический риск.
Систематический риск.
Это тот, который диверсификация не может устранить, потому что она проистекает из факторов, которые влияют на всю экономику, таких как политические изменения.
Иллюстрация 10. Диверсифицируемый риск и систематический риск.
Тогда общий или конкретный риск по инструменту равен сумме диверсифицируемого риска плюс систематический риск.
Общий риск = диверсифицируемый риск + систематический риск.
В экономике, в которой инвесторы используют диверсификацию для формирования своих портфелей, финансовые активы должны платить только разницу за систематический риск, поскольку диверсификация была доведена до предела.
CAPM связывает премию за систематический риск финансового актива с премией рыночного портфеля посредством линейных отношений. Обобщение этой модели можно найти в теории ценообразования. В следующих параграфах показаны два варианта CAPM в дополнение к трактовке инфляции, налогов, потребления и модели единого индекса (MIU) в качестве альтернативы для построения эффективной границы.
Допущения CAPM
• Инвесторы принимают решение на основе критерия полувысокой дисперсии с нормально распределенной доходностью.
• Инвесторы имеют одинаковый временной горизонт.
• Инвесторы имеют однородные ожидания относительно возврата активов, что означает, что они видят ту же эффективную границу.
• Рынок эффективен.
• Существует безрисковый инструмент, по которому инвесторы могут брать взаймы и брать неограниченные суммы. • Рынок идеален
Некоторые из этих допущений могут быть ослаблены, чтобы получить расширения CAPM, но среди них одно, которое относится к однородности ожиданий доходности активов, является фундаментальным, поскольку оно обеспечивает эффективность рыночного портфеля.
Вывод CAPM
Рассмотрим М участников рынка капитала. Пусть Xi будет начальным богатством i-го инвестора i = 1,2,…, M.
Экономическое равновесие достигается, когда предложение и спрос какого-либо удовлетворителя равны. CAPM является моделью равновесия, потому что она рассматривает эту ситуацию. В этой модели спрос - это взвешенная сумма всех портфелей, принадлежащих инвесторам М., тогда как предложение отражается в рыночном портфеле.
требовать
Пусть Wi - весовой вектор портфеля i-го инвестора
M, тогда W ~ D = X1 ∑i = 1 X iW ~ i - весовой вектор
совокупного спроса M с X = ∑ X i.
i = 1
На основании теоремы о фонде мы имеем, что вектор общей потребности
M ⎡1⎡ M ⎡ 0 is
равен W ~ D = i = 1
X 0
⎥ i + i = 1
⎢⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 ⎦
X
⎢ 1 ⎥.
⎢ ⎥
⎢ M ⎥
⎣wN ⎦
MMM
∑ X iαi ⎢ ⎥ 1 (1 - αi) X i ⎢ M ⎥
∑ X iαi ∑ (1 - αi) X i ∑ X iαi
Также i = 1 + i = 1 = 1 поэтому, когда αD = i = 1, мы имеем
XXX,
что вектор весов общего спроса принадлежит CML.
Для WD-вектора следующие равенства используются для получения значения первого множителя Лагранжа.
ΣW D = λ1R + λ2 I
−λ2 −λ1RL = 0
ΣW D = λ1 (R - RL I)
WD / ΣW D = λ1 (E - RL)
ΣW DR - RL I
=
D / D
W ΣW E - RL
Предложение
Общее предложение дается портфелем рынка WM.
Равновесие
Равновесие получается, когда WM = WD, так что CAPM для всей экономики получается из равенства.
ΣW MR - RI
WD = WM ⇒ M / M = L
W ΣW E - RL ⎡β1 ⎤ ⎡RL ⎤ ⎡ E ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ β RE
⇔ ⎢ 2 ⎥ (E - RL) + ⎢ L ⎥ = ⎢ 2 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ N NβN ⎦ ⎣RL ⎦ ⎣E⎦
I-тым входом вектора ΣWD является ковариация между доходностью Ri и рыночной доходностью RM и βi = cov (Ri2, RM).
σM
Бета и приложения
Бета актива является систематической мерой риска и помогает показать чувствительность к рыночному риску акции.
Если бета актива больше единицы, то доходность этого актива в среднем будет увеличиваться или уменьшаться более чем пропорционально по отношению к рыночному портфелю.
Когда бета актива меньше единицы, тогда доходность актива будет сопровождать его таким образом, который будет менее чем пропорционален эффективности рыночного портфеля.
В случае, если у актива есть единичная бета, доходность актива будет в среднем изменяться в той же пропорции, что и рыночный портфель.
Оценка беты требует производительности рыночного портфеля. Последнее не может быть точно определено, но существуют прокси-переменные, которые позволяют его моделировать. Указанные прокси-переменные представляют собой фондовые индексы, такие как S & P 500 в Соединенных Штатах, а в случае Мексики есть индекс цен и котировок Мексиканской фондовой биржи, который включает в себя группу из примерно 35 акций, ратифицированных или заменяемых каждый год, с веса, которые варьируются в режиме реального времени.
После получения приблизительного рыночного портфеля бета-версия может быть определена по ее определению или с помощью линейной регрессии, в которой считается, что эффективность актива линейно зависит от производительности рыночного портфеля., CAPM находит реальные приложения для определения стоимости капитала фирмы. WACC (средневзвешенная стоимость капитала) - это средневзвешенная стоимость капитала и капитальных затрат по финансовому долгу.
от
WACC = Kd + Ke d + ed + e, где
Kd - стоимость капитала финансового долга. Ke - стоимость собственного капитала.
D - рыночная стоимость финансового долга.
E - рыночная стоимость капитала фирмы.
В частности, бета-версия служит для оценки стоимости собственного капитала Ke, который в мексиканском случае принимает следующую форму:
Ke = RL + β (E-RL) * RVA + Rsm + RP
куда
RL это ставка 30-летних казначейских векселей платить β определяется по отношению к индексу S & P 500
E является средняя доходность на S & P 500
RVA является корректив для инвестиций за пределами Соединенных Штатов среды
RSM является премиум рассмотреть Из-за размера фирмы
RP это страновой риск мексиканских еврооблигаций
CAPM - это модель, которая имеет расширения и критику очень ограничительных гипотез, которыми она управляет, потому что, как видно из стоимости собственного капитала, необходимо внести коррективы в теоретический CAPM. Тем не менее, модель все еще в силе.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Нормальное распределение
Говорят, что случайная величина X следует нормальному распределению с параметрами локализации и масштаба µ и σ соответственно, если функция плотности имеет следующий вид
(µ) 2
n
- ∞ <µ <∞ σ> 0
Когда X имеет нормальное распределение с соответствующими параметрами, оно обозначается как X ~ N (µ, σ).
Если выполняется преобразование Z = X −µ, получается, что Z ~ N (0,1) и Z σ
известны как стандартная нормаль. Если у нас есть Z, преобразование X = σZ + µ приводит к исходной нормали X.
Для удобства переменная Z затем используется для получения результатов по любой нормальной переменной X.
Теорема. Пусть Z ~ N (0,1). Так что все моменты этой переменной конечны.
PD E <∞ ∀n∈ N
Демонстрация.
z22
E - z -ne− 2 dz ze dz
z2
Если производится изменение переменной y =, получается следующее выражение
2,
в котором Γ обозначает функцию диапазона.
nn
E = 22 ∞∫ и n2−1e - ydy = 2π2 Γ⎜⎛⎝ n2 + 1⎞⎟⎠ <∞
π 0
Результат 1. Если n нечетно, то E = 0.
2
Е з дз = 0
z2
Это потому, что f (z) = zne− 2 - нечетная функция.
Результат 2. Если n четно, то E = 1⋅3⋅5⋅… ⋅ (n −1)
n 2
E = −∫∞zeye - ydy = 2π2 Γ⎛⎜⎝n2 + 1⎞⎟⎠
2π
Индукцией по k ∈ N такому, что n = 2k, доказано, что
2 k Γ⎛⎜ k + 1 ⎞⎟ = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅… ⋅ (2k - 1) π ⎝ 2 ⎠
После того, как результаты получены для стандартного нормаля, можно найти другие результаты для любого нормаля.
Пусть mn = E и X ~ N (µ, σ).
Если мы помним, что Z = X −µ, то mn = E = E⎡⎢ (X −nµ) n ⎥⎤. σ ⎣ σ ⎦
Значения m3 и m4 представляют интерес, поскольку они приводят к значениям смещения и эксцесса любой нормы.
Частный случай n = 3
Для результата 1 m3 = 0 = E⎡⎢ (X −3µ) 3 ⎤⎥ ⇒ k3 = E = 0 и, следовательно,
⎣ σ ⎦ σ
имеет другой результат:
Результат 3. Смещение k3 любой нормальной случайной величины равно нулю.
Частный случай n = 4
В результате 2 m4 = 3⋅1 = E⎡⎢ (X −4µ) 4 ⎤⎥ ⇒ k4 = E = 3 это приводит
another σ ⎦ σ
к другому важному результату в изучении финансовых временных рядов.
Результат 4. эксцесс любой нормальной случайной величины равен трем.
Из равенства X = σZ + µ получаем, что X n = (σZ + µ) ny на основе бинома Ньютона
(σZ + µ) n = ∑j = n0 C njσ n− j Z n− jµ j, где C nj = (n − n! j)! J!
Тогда мы получим следующий результат:
Результат 5. n-й момент нормальной случайной величины является функцией значений среднего значения µ и стандартного отклонения σ. Другими словами, любой момент, больший, чем секунда любой нормальной случайной величины, зависит исключительно от первых двух моментов.
PD E = f (µ, σ)
Доказательство
n
Если выражение n− j Z n− jµj
j = 0 взято как надежда,
то линейность выражения дает желаемый результат.
nn
E (n− jmn− jµ) = f (µ, σ)
j = 0 j = 0
Этот пятый результат важен при объединении идей функций полезности и доходности, которые обычно распространяются.
РЫНКИ
ИДЕАЛЬНЫЙ РЫНОК
Рынок капитала идеален, когда выполняются следующие условия:
• на рынке нет трения; то есть, нет никаких операционных издержек или налогов, все активы являются полностью делимыми и ликвидными, и нет никаких юридических ограничений.
• На товарных и фондовых рынках совершенная конкуренция.
• Информация принимается всеми лицами и является бесплатной.
• Люди рациональны и стремятся максимизировать свою ожидаемую полезность.
ЭФФЕКТИВНЫЙ РЫНОК
Эффективный рынок капитала позволяет передавать активы с небольшой потерей богатства, поэтому он интегрирован в концепцию эффективности в смысле Парето. Рынок относится к этому типу, когда цены финансовых активов, находящихся на его рынке, отражают всю доступную информацию и, следовательно, являются справедливыми ценами.
Есть три формы эффективности, а именно:
1. Слабая форма эффективности. В этих обстоятельствах ни один человек не может получить экстраординарную прибыль, следуя инвестиционным стратегиям, основанным на исторической информации о ценах. Другими словами, цены дисконтируют прошлую информацию.
2. Полусильная форма эффективности. В этой форме эффективности ни один инвестор не получает экстраординарную прибыль через правила, сгенерированные из общедоступной информации, поэтому говорят, что цены дисконтируют эту публичную информацию.
3. Сильная форма эффективности. При таком типе эффективности ни один человек не может получать прибыль выше рыночной за любую информацию. Таким образом, цены отражают всю информацию.
ССЫЛКИ
- Коупленд и Уэстон. (1988). Финансовая теория и корпоративная политика. Эддисон Уэсли Элтон, Эдвин Дж., Грубер Мартин Дж. (1995). Современная портфельная теория и инвестиционный анализ. Джон Вили и сыновья. Хейман, Тимоти. (1998). Инвестиции в глобализацию. IMEF, Milenio, IMCP, ITAM и BMV.
