Биномиальное распределение - это широко используемое распределение вероятностей дискретной случайной величины, которое является биномиальным распределением. В нем описаны различные процессы, интересующие администраторов.
Он описывает дискретные данные, полученные в результате эксперимента, названного процессом Бернулли в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, который жил в 17 веке.
Использование процесса Бернулли.
Мы можем использовать результаты фиксированного числа подбрасываний монеты в качестве примера процесса Бернулли. Мы описываем этот процесс так:
- Каждое испытание (в нашем случае - каждый бросок) имеет только два возможных исхода: сторона A или сторона B, да или нет, успех или неудача. Вероятность исхода любого испытания (бросок) остается неизменной с течением времени. В случае монеты вероятность того, что она выпадет из стороны A, остается 0,5 при каждом подбрасывании, независимо от того, сколько раз подбрасывалась монета. Тесты статистически независимы, то есть результат подбрасывания не влияет чем любой другой выпуск.
Каждый процесс Бернулли имеет свою характерную вероятность. Возьмем случай, когда семь десятых людей, обратившихся за определенным типом работы, прошли тест. Тогда мы скажем, что характерная вероятность была 0,7, но мы можем описать результаты теста как процесс Бернулли, только если мы уверены, что доля тех, кто был одобрен, оставалась постоянной с течением времени.
Конечно, должна быть удовлетворена и другая характеристика процесса Бернулли. Каждый тест должен давать только два результата (успех или неудача = результаты теста должны быть статистически независимыми.
На более формальном языке символ p представляет вероятность успеха, а символ q (1-p) представляет вероятность неудачи. Чтобы обозначить определенное количество успехов, мы будем использовать символ r, а чтобы обозначить общее количество испытаний, мы будем использовать символ n.
Итак, мы должны:
| п | Вероятность успеха. |
| Q | Вероятность неудачи. |
| р | Количество желаемых успехов. |
| N | Количество проведенных тестов. |
Есть биномиальная формула:
Вероятность успеха r в n испытаниях:
N! / Р! (NR)! P R Q N-R
Напомним, что факториальный символ! Это означает, например, что это 3! = 3 * 2 * 1 = 6
Математики определяют 0! = 1.
Биномиальное распределение можно выразить графически
Представьте себе начальную школу, где ученики часто опаздывают. Пятеро учеников находятся в детском саду. Директор изучает проблему в течение некоторого времени и пришел к выводу, что существует вероятность 0,4, что ученик опаздывает и что ученики приходят независимо друг от друга. Как нарисовать биномиальное распределение вероятностей, которое иллюстрирует вероятности, 0,1,2,3,4 или 5 студентов одновременно опаздывают? Для этого нам нужно будет использовать биномиальную формулу, где:
P = 0,4
Q = 0,6
N = 5
Выполним расчет каждого значения R:
При R = 0 получаем, что:
П (0) = 5! / 0! (5-0)! (0,4) 0 (0,6) 5
Р (0) = 0,07776
При R = 1 получаем, что:
P (1) = 5! / 1! (5-1)! (0,4) 1 (0,6) 4
Р (1) = 0,2592
При R = 2 получаем, что:
P (2) = 5! / 2! (5-2)! (0,4) 2 (0,6) 3
Р (2) = 0,3456
При R = 3 получаем, что:
P (3) = 5! / 3! (5-3)! (0,4) 3 (0,6) 2
Р (3) = 0,2304
При R = 4 получаем, что:
P (4) = 5! / 4! (5-4)! (0,4) 4 (0,6) 1
Р (4) = 0,0768
При R = 5 получаем, что:
P (5) = 5! / 5! (5-5)! (0,4) 5 (0,6) 0
Р (5) = 0,01024
Представление этих результатов в виде графика:
Меры центральной тенденции и дисперсии биномиального распределения.
Биномиальное распределение имеет ожидаемое или среднее значение (m) и стандартное отклонение (я), и мы должны иметь возможность вычислить эти два статистических показателя.
Мы можем представить среднее значение биномиального распределения следующим образом:
m = np
где:
n = количество испытаний.
P = вероятность успеха.
И отклонение следующее:
s = Ö npq
где:
n = количество испытаний.
P = вероятность успеха.
Q = вероятность отказа.
Пример:
Упаковочная машина, производящая 20% дефектных упаковок. Если составлена случайная выборка из 10 пакетов, мы можем вычислить среднее значение и стандартное отклонение биномиального распределения этого процесса следующим образом:
m = np
= 10 * 0,2
= 2 Среднее
s = Ö npq
= Ö (10) (0,2) (0,8)
= Ö 1.6
= 1,265 стандартного отклонения.
В следующем видеокурсе (Educatina + Khan Academy) концепция объясняется довольно просто, наверняка, увидев ее, вы четко поймете, что такое биномиальное распределение.
