Распределение Пуассона используется для описания нескольких процессов, включая распределение телефонных звонков, поступающих на коммутатор, спрос (потребности) в услугах в медицинском учреждении со стороны пациентов, прибытие грузовиков и автомобилей на место. пункт взимания платы за проезд и количество аварий на перекрестке. Приведенные примеры имеют один общий элемент, их можно описать дискретной случайной величиной, которая принимает целые значения (0,1,2,3,4,5 и т. Д.).
Распределение Пуассона названо в честь Симеона Денниса Пуассона (1781-1840), француза, который разработал это распределение на основе исследований, проведенных во второй половине своей жизни.
Количество пациентов, которые приходят в офис за определенный промежуток времени, будет 0,1,2,3,4,5 или какое-то другое целое число. Точно так же, если количество автомобилей, прибывающих к пункту взимания платы за проезд, подсчитывается в течение десяти минут, это число будет целым числом.
Характеристики процессов, производящих распределение вероятностей Пуассона
Количество транспортных средств, проезжающих через пункт взимания платы за проезд в часы пик, служит примером, демонстрирующим характеристики распределения вероятности Пуассона.
Среднее (среднее) количество транспортных средств, прибывающих в час интенсивного движения, можно оценить на основе предыдущих данных о дорожном движении.
Если мы разделим часы интенсивного движения на периоды (интервалы) по одной секунде каждый, мы обнаружим, что верны следующие утверждения:
а) Вероятность того, что ровно одно транспортное средство подъедет к отдельному дому за секунду, очень мала и постоянна для каждого интервала в одну секунду.
б) Вероятность того, что два или более транспортных средства прибудут с интервалом в одну секунду, настолько мала, что мы можем присвоить ей нулевое значение.
c) Количество транспортных средств, прибывающих с заданным интервалом в одну секунду, не зависит от того, когда интервал в одну секунду приходится на час интенсивного движения.
г) Количество прибытий в любом односекундном интервале не зависит от количества прибытий в любом другом односекундном интервале.
Теперь мы можем сделать обобщение, исходя из четырех условий, которые мы описали в этом примере, если эти условия выполняются, мы будем полагаться на распределение вероятностей Пуассона для их описания.
Расчет вероятностей с использованием распределения Пуассона
Как мы уже отмечали, распределение Пуассона относится к определенным процессам, которые можно описать дискретной случайной величиной. Буква X обычно представляет эту переменную, а также может принимать целые значения (0,1,2,3 и т. Д.). Мы используем прописную букву X для обозначения случайной переменной и строчную букву x для обозначения определенного значения, которое может принимать прописная буква X. Вероятность появления ровно x вхождений в распределении Пуассона рассчитывается по формуле:
P (x) = lx * el / x!
lx = лямбда
(среднее количество появлений за интервал времени) в степени x.
el = e = 2,71828 в степени отрицательной лямбды.
Икс! = x факториал.
Пример:
Предположим, мы исследуем безопасность очень опасного круизного лайнера. По документам полиции в среднем с ним происходит пять несчастных случаев в месяц. Количество аварий распределяется в соответствии с распределением Пуассона, и Отдел безопасности дорожного движения хочет рассчитать вероятность точно 0,1,2,3 и 4 аварий в заданный месяц.
Применяя приведенную выше формулу:
П (0) = (5) 0 (e-5) / 0! = 0,00674
П (1) = (5) 1 (e-5) / 1! = 0,03370
П (2) = (5) 2 (е-5) / 2! = 0,08425
П (3) = (5) 3 (e-5) / 3! = 0,14042
П (4) = (5) 4 (е-5) / 4! = 0,17552
Чтобы узнать, какая вероятность равна 3 или меньше, мы добавим вероятности 0,1,2,3, которые будут равны:
P (0) = 0,00674
P (1) = 0,03370
P (2) = 0,08425
P (3) = 0,14042
P (3 или меньше) = 0,26511
Учитывая, что вероятность того, что произойдет 3 или меньше несчастных случаев, составляет 0,26511, тогда вероятность того, что произойдет более трех аварий, должна быть = 1 –0,26511 = 0,73489.
Распределение Пуассона как приближение к биномиальному распределению.
Иногда, если вы хотите избежать утомительной работы по вычислению биномиальных распределений, вы можете вместо этого использовать Пуассона, но вы должны выполнить определенные условия, такие как:
п => 20
р = <0,05
В случаях, когда такие условия выполняются, мы можем заменить среднее значение биномиального распределения вместо среднего значения распределения Пуассона, чтобы формула выглядела так:
П (х) = (нп) х * е-нп / х!
_____________
Из следующих видео (Educatina - Khan Academy) вы наверняка прекрасно поймете концепцию распределения Пуассона.
