Основная цель этого отчета - реализовать алгоритм и разработать программное обеспечение, дополняющее методологии, используемые сегодня для принятия инвестиционных решений, основанные на минимизации стоимости под риском (VaR) посредством программирования. linear, что возможно при использовании условной стоимости под риском (CVaR) в качестве единицы измерения риска для оптимизации.
Для развития этого в качестве конкретных целей было предложено получение и обработка соответствующей финансовой информации для принятия решений, которая включает анализ доходности, рисков и корреляции выбранных действий, а также изучение критерия и выполнение. критерия моделирования цен акций.
Что касается прогнозирования цен, такие методы, как процесс Винера, более известный как броуновское движение, моделирование методом Монте-Карло и матричные процедуры, такие как факторизация Холецкого, использовались для получения коррелированных доходов таким же образом, как они были коррелированы в в прошлом, генерируя результаты, более соответствующие реальности, в рамках ограничений и трудностей, которые существуют в отношении моделирования колебаний запасов.
Наконец, в данной работе был реализован алгоритм оптимизации, разработанный Урясевым и Рокафелларом, методология которого пока не получила широкого распространения на национальном рынке. Этот алгоритм приводит к оптимальному инвестиционному портфелю, основанному на минимизации VaR, который количественно определяет максимальный ожидаемый убыток для портфеля с определенным уровнем достоверности и заранее установленным временным горизонтом.
ГЛАВА I ВВЕДЕНИЕ
1.1 Общие аспекты риска портфеля
В последние годы финансовые учреждения провели многочисленные исследования в области управления рисками, чтобы получить меры, которые эффективно управляют рисками, которым они подвергаются.
Финансовые риски, влияющие на организации, такие же, как и в предыдущие годы, однако методы измерения этих рисков со временем эволюционировали, что в настоящее время подводит нас к концепции VaR. (Value of Risk or Value at Risk), который оценивает риск инвестиционных портфелей с вероятностной базой.
Под риском понимается наличие некоторой вероятности понести убытки, при которых доходность убытков будет ниже, чем ожидалось. Таким образом, финансовый риск отражается в потере экономической стоимости ожидаемых активов в результате изменчивости доходности, поэтому на экономическую стоимость инвестиционного портфеля влияют различные факторы риска, такие как: процентные ставки, обменные курсы, цены на акции и др.
Таким образом, важно выявлять, оценивать финансовые риски, с которыми вы сталкиваетесь, и управлять ими. Некоторые из наиболее распространенных финансовых рисков показаны ниже:
a) Риск процентной ставки. Это, в свою очередь, состоит из различных рисков (более подробную информацию рекомендуется просмотреть).
a.1) Рыночный риск: он вызывает потери капитала в рыночной стоимости активов в результате колебаний процентной ставки. Большая или меньшая вариация цен на активы в случае изменения ставок будет зависеть от характеристик активов.
a.2) Риск реинвестирования: это происходит, когда реинвестирование самого актива или его денежных потоков должно осуществляться по более низким ставкам, чем ожидалось.
а.3) Риск волатильности: относится к тем активам, в которые включены определенные опционы и цена которых зависит, помимо уровня процентных ставок, от факторов, которые могут повлиять на стоимость включенных опционов, таких как волатильность. в процентных ставках. Риск волатильности или «риск волатильности» является производным от изменения волатильности, отрицательно влияющего на цену облигации.
б) Кредитный риск, или также известный как риск неплатежеспособности, возникает из-за неспособности эмитента выполнить свои обязательства. В рамках этого типа мы находим суверенный риск, который относится к невыполнению обязательств страны.
в) Риск неликвидности: указывает на неспособность иметь необходимый денежный поток для выполнения краткосрочных обязательств или, другими словами, отсутствие достаточного оборотного капитала. Также понимается невозможность продать актив по его первоначальной цене.
г) Правовой риск: относится ко всем регуляторным аспектам, которые могут прямо или косвенно повлиять на результаты деятельности компании. Среди них мы находим налоговый риск, который может быть вызван возможностью исчезновения определенных налоговых преимуществ в результате этих юридических рисков.
Изначально модели риска были нацелены на измерение риска инвестиционных портфелей финансовых организаций. Эти учреждения, движимые стимулом к снижению требований к капитализации, налагаемых регулирующими органами, были основными сторонниками методологической основы для управления рисками.
Возможность иметь систему, оценивающую рыночный риск инвестиционного портфеля, была постоянной потребностью институциональных инвесторов. Вот почему инструменты для оценки и управления волатильностью инвестиционных портфелей со временем стали процветать.
Таким образом, в 1970-х годах для измерения подверженности процентному риску использовался анализ разрывов, определяемый разницей между активами и обязательствами для разных стадий погашения.
В 80-х годах дюрация (фиксированный доход) стала использоваться как инструмент для измерения подверженности процентному риску. Которая измеряет чувствительность или ценовую эластичность инструмента в результате изменения процентной ставки, то есть, сколько может быть потеряно, если ставки вырастут на несколько процентов. Этот показатель немного лучше предыдущего, поскольку он учитывает конкретный срок погашения и купон каждого актива. С другой стороны, Betas (акции) измеряют чувствительность финансового инструмента к изменениям на рынке в целом, представленную индексом.
1.2 Стоимость под риском (VaR)
В рамках новаторской концепции американский банк JP Morgan в 90-х годах распространил методологию, состоящую из моделей «Стоимость под риском» или «Стоимость под риском» (VaR), которые оценивают риск инвестиционных портфелей на вероятностной основе.
Эта методология «RiskMetrics» 1 была раскрыта в 1995 году, что произвело революцию в управлении рисками, уступив место хорошо известной стоимости под риском (VaR), а в последние годы - условной стоимости под риском или «рисковой стоимости». Условный »(CVaR).
Поскольку в 1995 году Базельский комитет объявил, что создание резервов капитала финансовых учреждений должно основываться на методологиях VaR. В настоящее время появились различные исследования и анализы широкого спектра методологий, которые могут применяться в финансовых учреждениях.
Проще говоря, VaR - это необходимость количественно оценить с определенной степенью уверенности сумму или процент убытков, с которыми портфель столкнется в определенный период времени. Другими словами, это измерение максимального ожидаемого убытка с учетом временного горизонта при нормальных рыночных условиях и с заданным уровнем риска. А более конкретно, VaR представляет собой квантиль распределения прибылей и убытков, который обычно выбирается как 95% или 99% распределения.
Философия VaR заключается в измерении взаимосвязи между доходностью и риском для формирования эффективного портфеля, введенной Марковицем и Шарпом.
Согласно Гарману и Бланко, VaR портфеля - это минимальный ожидаемый убыток за определенный временной горизонт и определенный уровень уверенности, измеренный в определенной базовой валюте.
В общем, наиболее широко используемым предположением является предположение о нормальности, которое позволяет представить все наблюдения с использованием хорошо известного гауссовского колокола и применить его статистические свойства.
Следовательно, если мы хотим определить VaR портфеля для временного горизонта в один день и требуя уровня значимости 5%, это означает, что только 5% времени или 1 случай из 20 (то есть один один раз в месяц с ежедневными данными или каждые 5 месяцев с еженедельными данными) доходность портфеля упадет больше, чем указывает VaR.
Его следует умножить в 1645 раз (с доверительной вероятностью 95%) на стандартное отклонение доходности портфеля.
(Ур. 1.1)
Где:
вектор неотрицательных весов, сумма которых равна единице.
Матрица дисперсий и ковариаций доходности n активов.
Вектор неотрицательных весов, добавляющих один транспонированный.
Рисунок 1.1 Графическое изображение
источника риска:
Учитывая вышеизложенное, используя методологию VaR, JP Morgan Bank начал каждый день рассчитывать максимально возможные убытки, которые они понесут в следующие 24 часа.
В результате популярности VaR Управление по ценным бумагам и страхованию (SVS) в Чили оставило этот индикатор в качестве меры риска для банковского регулирования, для чего он был включен страховыми компаниями и администраторами инвестиционных фондов (AFP). как часть институциональных правил.
Например, если VaR портфеля рассчитывается на уровне 3 518 033,25 песо за один день с доверительным интервалом 95%, это не означает, что 3 518 033,25 песо обязательно потеряны, но это означает, что В случае убытков максимум, который можно потерять с сегодняшнего дня на завтра и с вероятностью 0,95, составляет 3 518 033,25 песо. Таким образом можно отрегулировать необходимый капитал.
1.3 Методики оценки VaR.
В основном VaR можно рассчитать с использованием двух методологий:
a) Параметрическая методология. Которая оценивает VaR с использованием таких параметров, как волатильность, корреляция и т. Д. Вершин риска, предполагая, что доходность распределена нормально.
б) Непараметрическая методология или методика моделирования, которая подразделяется на:
б.1) Историческое моделирование. На основе исторической доходности цен на активы.
В общих чертах, этот метод пытается количественно оценить гипотетическую прибыль, которая была бы получена в прошлом при сохранении текущего инвестиционного портфеля. То есть он состоит в применении вектора текущих инвестиционных весов к репрезентативной серии исторических доходностей, чтобы сгенерировать последовательность исторических значений портфеля, которые могут быть представлены гистограммой, и, таким образом, иметь возможность определить определенное распределение вероятностей.
Среди преимуществ этого метода - то, что он не делает никаких предположений о корреляциях инструментов. Он также не предполагает явным образом форму распределения вероятностей цен на инструменты. С другой стороны, полагаясь на историческую информацию для оценки будущих убытков, она может включать «широкие хвосты», «асимметрии», если историческая выборка имела такие характеристики (для более подробной информации см.:
Среди недостатков мы находим необходимость иметь большого количества исторической информации в серии инструментов, потому что в противном случае мы могли бы получить ненадежные вычисления.
б.2) Моделирование Монте-Карло. На основе моделирования доходности с использованием случайных чисел.
Этот метод заключается в создании будущих сценариев на основе функции распределения переменных. Следовательно, он позволяет нам моделировать все возможные сценарии значений, принимаемых доходностью различных вершин риска, на основе их функции распределения. Для этого необходимо предположить, что сценарии будут следовать некоторому определенному распределению, будь то нормальное, t-student, среди других, и, таким образом, иметь возможность генерировать отдачу с помощью некоторого алгоритма генератора переменных или некоторого случайного процесса.
Например, мы можем предположить, что ряды распределены в соответствии со случайным процессом Винера. (См. Индекс 2.5 для получения более подробной информации о процессе)
(Уравнение 1.2)
Где:
: соответствует доходности акции (P - цена акции) на временном интервале.
: Это ожидаемая стоимость дохода.
: Это стохастический компонент доходности, представляющий стандартное отклонение.
: Это случайная величина с нормальным распределением (0,1).
Среди преимуществ этого метода - это, безусловно, самый эффективный метод расчета VaR. Вы можете рассчитывать на широкий спектр рисков, включая нелинейный ценовой риск, риск волатильности и даже модельный риск. Он достаточно гибкий, чтобы учесть изменение волатильности во времени или «жирные хвосты» и экстремальные сценарии. Это моделирование можно использовать, например, для изучения ожидаемых потерь при определенном VaR.
В качестве недостатка мы считаем необходимость отличной компьютерной поддержки. Например, если 1000 образцов треков генерируются портфелем из 1000 активов, общее количество оценок будет 1000000.
С учетом вышеизложенного возникает сложность оценки в реальном времени и необходимость предварительно установить модели поведения цен на активы. Кроме того, хотя этот метод должен быть более точным при попытке сгенерировать полное распределение вероятностей ценных бумаг, которые принимает портфель, он все же полагается на историческую доходность для определения волатильности и корреляций.
1.4 Условная стоимость под риском (CVaR)
VaR, как мера риска, нестабильна и ее трудно вычислить численно, когда убытки не «нормально распределены», что на практике является наиболее частым случаем, поскольку у распределений, как правило, есть «широкие хвосты». Следовательно, было показано, что он является непротиворечивым только тогда, когда он основан на стандартном отклонении нормального распределения доходности активов, поскольку при нормальном распределении VaR пропорционален стандартному отклонению доходности инструментов.
С другой стороны, VaR имеет нежелательные математические характеристики, такие как отсутствие субаддитивности и выпуклости, подробнее см.
Таким образом, когда доходность не распределяется нормально, отсутствие субаддитивности приводит к тому, что VaR, связанный с портфелем, который объединяет два инструмента, превышает сумму рисков VaR отдельных портфелей.
Функция VaR, которую мы обозначим как, определяется как процентиль функции распределения потерь по формуле:
(Ур. 1.3)
Где - функция распределения, полученная из функции потерь, а x - позиция или веса в инвестиционном портфеле.
Чтобы понять концепцию субаддитивности, давайте рассмотрим следующий случай: пусть показатель VaR связан с портфелем, тогда мы скажем, что он субаддитивен, если заданы портфели, и у нас есть:
(уравнение 1.4)
То есть комбинация двух портфелей это должно быть связано с меньшим риском в результате диверсификации, «не кладите все яйца в одну корзину».
Однако это не удовлетворяется VaR, и в результате его плохого поведения в качестве меры риска это привело бы к разделению инвестиций или портфеля для снижения риска. Сильно противоречащие теории диверсификации.
С другой стороны, не соблюдая выпуклость, минимизация VaR не гарантирует, что мы получили оптимальный портфель, который минимизирует целевую функцию (потери), поскольку он может иметь несколько локальных экстремумов.
Наконец, очень важным недостатком VaR является то, что он не обеспечивает указание величины потерь, которые могут быть понесены сверх суммы, указанной его мерой, поскольку он просто обеспечивает нижний предел потерь в хвосте распределения возвращается,.
В этом контексте появилась альтернативная мера, позволяющая количественно оценить потери, которые могут быть обнаружены в хвосте распределения убытков, называемая условной стоимостью под риском (CVaR), которая может использоваться в качестве инструмента в моделях оптимизации портфеля. инвестиции, обладающие свойствами, превосходящими VaR во многих аспектах.
CVaR поддерживает согласованность с VaR в ограниченном сценарии, где расчет последнего поддается обработке (когда убытки обычно распределяются), где работа с CVaR, VaR или минимальной дисперсией Марковица дает одинаковые результаты, то есть они приводят к одному и тому же портфелю оптимальный. Более того, на практике минимизация VaR дает оптимальный портфель, близкий к минимизации CVaR, поскольку по определению потери, рассчитанные как функция CVaR, меньше или равны потерям, полученным с помощью VaR.
Этот показатель для непрерывных распределений также известен как средняя избыточная потеря, ожидаемый дефицит или хвостовой VaR. Однако для дискретных распределений CVaR может быть другим. По определению для непрерывных распределений α-CVaR - это ожидаемые потери, которые превышают α-VaR, другими словами, это среднее значение потерь хуже, чем. Для α = 0,99 CVaR будет в среднем более 1% от наихудших потерь. В общем, для функций распределения потерь (включая дискретные распределения) CVaR определяется как средневзвешенное значение VaR, обусловленное потерями, которые превышают этот показатель.
CVaR, в отличие от VaR, имеет очень хорошие математические свойства, которые можно увидеть более подробно в.
Наша цель - найти оптимальный портфель, в котором связанный риск (VaR) минимален, для этого мы будем использовать замечательную математическую формулировку, разработанную Рокафелларом и Урясевым, реализуя алгоритм, оптимизирующий CVaR, для которого данные из Bloomberg ”, Предоставлено AGF. Эти данные будут обрабатываться статистически, чтобы получить временные ряды доходности различных действий, которые будут составлять инвестиционный портфель, и с помощью алгоритма Монте-Карло мы сгенерируем сценарии, которые будут использоваться в общей задаче оптимизации CVaR., с которым будет получен вектор весов для инвестирования в каждую акцию в портфеле и чей связанный риск (VaR) будет минимальным.
1.5 Анализ исторических данных инвестиционного портфеля.
Исторические данные по акциям будут получены "Bloomberg", где ежедневные данные по акциям будут доступны для определенного нами T. Для «хорошей» оценки удобно иметь горизонт как минимум T = 10 лет для активов, которые будут составлять портфель. Важно прояснить, что Bloomberg дает возможность загружать цены с соответствующими корректировками, чтобы информация была как можно более «реальной».
Прежде всего, хорошо разделить действия по секторам:
Таблица 1.1 Пример чилийских действий, сгруппированных по секторам
Источник: собственная разработка
Акции, которые в конечном итоге будут составлять портфель, должны иметь определенную степень диверсификации по отношению к различным рынкам, таким как розничная торговля, горнодобывающая промышленность, транспорт, электроэнергетика и другие. Проще говоря, диверсификация - это, как мы упоминали ранее, «не класть все яйца в одну корзину», и ее основная цель - достичь максимальной прибыльности с минимально возможным риском, принося следующие преимущества.
• Снижает уязвимость портфеля к серьезным колебаниям рынка.
• Снижает волатильность (риск) портфеля.
Например, если у вас есть портфель из 2 активов:
Рисунок 1.2 Пример диверсификации акций (активов) в портфеле
Источник:
На рисунке 1.2 ясно видно, что при соответствующей диверсификации портфеля риск уменьшается, то есть когда активы, которые не связаны между собой, объединяются и достигается меньший риск.
Риск, который в конечном итоге может быть устранен за счет диверсификации, - это собственный риск. Собственный риск возникает из-за того, что многие опасности, с которыми сталкивается конкретная компания, являются ее собственными и, возможно, опасностями ее непосредственных конкурентов.
Но есть также риск, которого нельзя избежать, и даже если его диверсифицировать, его невозможно устранить, он известен как рыночный риск. В заключение, хотя есть преимущества диверсификации, риск портфеля нельзя полностью исключить, а скорее минимизировать.
Рыночный риск проистекает из того факта, что существуют другие опасности, которые угрожают экономике, которые угрожают всем предприятиям, это причина, по которой инвесторы подвержены рыночной неопределенности, такой как инфляция, независимо от количества акций разных компаний, которыми владеет портфель.
График 1.1 Пример диверсификации за счет увеличения количества акций в портфеле
Источник: собственная разработка
На Графике 1.1 можно отчетливо оценить эффект диверсификации портфеля, где риск, представленный стандартным отклонением, уменьшается по мере добавления активов в портфель.
Помимо диверсификации портфельных акций, следует проанализировать следующие моменты; превосходство во времени, большое присутствие на фондовом рынке, ликвидность и высокая рыночная капитализация - все это дает нам отличную информацию и низкий уровень шума при их анализе.
Что касается ликвидности компании, это относится к отношениям, которые в данный момент существуют между ее ликвидными ресурсами и обязательствами, подлежащими погашению в этот момент.
Аналогичным образом рыночная капитализация означает стоимость компании на рынке и определяется путем умножения цены акции на количество акций компании.
1.6 Текущая ситуация AGF Cruz del Sur
В настоящее время генеральный менеджер фонда Крус дель Сур использует различные механизмы, чтобы попытаться достичь «идеала», хорошей доходности с минимально возможным риском.
В качестве примера будет объяснено, как AGF работает сегодня, поскольку это компания, которая предоставляет все финансовые ноу-хау и необходимую информацию.
Управляющий портфелем или трейдер финансовыми акциями вместе с инвестиционным менеджером используют «старую» модель Марковица (эта теория широко объясняется, например, в различных книгах по экономике), которая основана на анализе «Эффективная граница»: кривая, полученная путем построения графика зависимости риска от прибыльности, для этого портфель диверсифицируется за счет активов, которые приносят много, но с высоким риском, и комбинируются с другими активами, которые приносят меньше, но более «безопасны», то есть менее изменчивый. Хотя эта стратегия неплохая, она используется с 1950-х годов, но в ней есть недостаток, заключающийся в том, что остается фиксированный процент, который нужно инвестировать в каждое действие, что в нашей памяти является тем, что мы будем искать оптимально и которые мы называем «векторными инвестиционными весами».
Рисунок 1.3 Пример границы эффективности
Источник: собственная разработка
Рисунок 1.3 представляет границу эффективности, которая содержит портфели, состоящие из рискованных активов, которые доминируют над другими, риски которых такие же, но имеют более низкую прибыльность.
После того, как граница эффективности сформирована с различными процентными долями инвестиций для каждого актива (их сумма должна быть равна единице, а у вас есть 100%), строится график зависимости прибыльности от риска для различных процентов инвестиций и выбора. Окончательный портфель явно зависит от типа инвестора, которым является администратор, например, в AGF они имеют более консервативный стиль и, следовательно, выбранный портфель не столь изменчив. (На рисунке 1.5 менеджер видит, что по мере увеличения риска рентабельность портфеля увеличивается)
Основное использование, которое они придают эффективной границе, - это определение портфеля, который рекомендуется рекомендовать клиенту, то есть различные типы портфеля, которые периодически рекомендуются клиентам, в их консервативном, умеренном и агрессивном характере.
Проблема, которую необходимо решить, заключается в том, чтобы AGF изменил «старую» модель и использовал эту новую инвестиционную стратегию, которая находит оптимальный «вектор веса» для инвестирования в каждый актив, составляющий портфель, с минимальным VaR (минимальным риском) и установленная ожидаемая доходность.
Необходимо четко указать, что этот метод является вспомогательным инструментом, дополняющим лицо, принимающее решения, поскольку именно он обладает финансовыми знаниями.
ГЛАВА II ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
2.1 Стоимость под риском, теоретические основы
VaR - это единообразная мера риска, которая количественно оценивает сумму или процент потенциальной потери стоимости портфеля в результате изменений рыночных факторов в течение определенного временного интервала. Эта потеря оценивается с определенной степенью неопределенности ().
Позвольте быть функцией потерь, которая зависит от «вектора весов x», принадлежащего множеству выполнимости, определяемому y «случайного вектора». Предполагается, что случайный вектор y управляется вероятностной мерой P, которая не зависит от. Для каждого она обозначается Ψ (x, ·) в как функция распределения, полученная из функции потерь, то есть:
(уравнение 2.1)
Следовательно, если предполагается, что случайный вектор имеет функцию плотности вероятности, то есть непрерывный случайный вектор, то для фиксированного совокупная функция распределения потерь, связанных с вектором, определяется следующим образом:
(Уравнение 2.2)
Формулы (2.1) и (2.2) представляют вероятность того, что функция потерь не превысит порог ζ. В обоих случаях функция VaR, которую мы обозначим через ζα (x), определяется как процентиль функции распределения потерь по формуле:
(Уравнение 2.3)
Проблема оптимизации, которая будет изучаться в этом отчете, связанная с VaR:
(Уравнение 2.4)
Где набор X представляет условия, налагаемые на веса или инвестиционную политику, связанную с портфелем. Например, если от портфеля не спрашивают ничего особенного, то множество X задается следующим образом:
(Ур. 2.5)
Однако, если к портфелю добавляется определенный уровень диверсификации (для получения более подробной информации рекомендуется посмотреть), то множество X определяется следующим образом:
(уравнение 2.6)
Где он представляет собой максимальный инвестиционный вес для каждого из активов портфеля, например, для всего, что интерпретируется как запрет иметь более 30% всех инвестиций в один актив портфеля. Если мы также требуем минимальной прибыли от портфеля, то X определяется по
формуле: (уравнение 2.7)
В котором R соответствует минимальной требуемой доходности и является прогнозируемой доходностью для каждого актива в заранее определенный период времени.
Наконец, важно отметить, что цель отчета - не рассчитать риск, связанный с инвестиционным портфелем, с весами в каждом заранее определенном активе, а найти инвестиционную политику или веса портфеля, которые делают риск Другими словами, это минимально, чтобы предоставить инструмент, который помогает принять решение о том, сколько инвестировать в каждый из активов данного инвестиционного портфеля.
2.2 Условная стоимость под риском, теоретические основы
В случае, когда рассматривается непрерывное распределение, CVaR определяется как ожидаемое значение потерь при условии, что они превышают VaR (которое будет обозначено). Функция CVaR определена и будет обозначаться следующим образом:
(уравнение 2.8)
Где - функция плотности, связанная с вероятностной мерой P. В общем, для функций распределения любого вида, включая дискретные распределения, CVaR определяется как средневзвешенное значение VaR и потерь, которые превышают его, что мы будем обозначать by, то есть ожидание условных потерь, строго превышающих VaR. Таким образом, CVaR определяется следующим образом:
(Уравнение 2.9)
Таким образом, что:
(Уравнение 2.1.0)
В случае рассмотрения непрерывного распределения для функции потерь, а значит,.
CVaR - это согласованная мера риска в том смысле, как это определено в, определяется с помощью процентиля и, в отличие от VaR, имеет хорошие математические свойства, которые можно более подробно рассмотреть в документах,,. В частности, CVaR, определенный в (2.8), является верхней границей VaR, поскольку:
(Уравнение 2.1.1)
В общем, минимизация CVaR и VaR не эквивалентны. Поскольку определение CVaR явно включает функцию VaR, то есть функцию, поэтому становится очень громоздко работать и оптимизировать CVaR, однако, если рассматривается следующая вспомогательная функция:
(Уравнение 2.1.2)
В качестве альтернативы это можно записать следующим образом:
(уравнение 2.1.3)
Куда. Для фиксированного хорошо рассмотреть следующую функцию:
(уравнение 2.1.4)
Эта последняя функция имеет следующие свойства, которые очень полезны при вычислении VaR и CVaR:
а) - выпуклая функция в.
б) en - это минимум, то есть.
c) Минимальное значение функции - en, то есть.
Как непосредственное следствие этих свойств, можно сделать вывод, что CVaR может быть оптимизирован путем оптимизации вспомогательной функции по отношению к и одновременно:
(уравнение 2.1.5)
Таким образом, CVaR может быть оптимизирован напрямую, без необходимости сначала рассчитывать VaR. Кроме того, это выпуклая функция от переменной портфеля, когда функция потерь также является выпуклой по отношению к. В этом случае, если набор возможных позиций в портфеле также является выпуклым, значит, задача оптимизации в уравнении (2.1.5) является выпуклой задачей, которую можно решить с использованием хорошо известных методов для этого типа проблем., Обычно невозможно вычислить или определить функцию плотности случайных событий в предлагаемой формулировке, однако, возможно, существует ряд сценариев, например; с, которые представляют некоторые исторические значения случайных событий, поэтому; исторические временные ряды прибыльности или цен активов портфеля, или это могут быть значения, полученные с помощью компьютерного моделирования, в нашей памяти стохастический винеровский процесс. В любом случае важной частью этого исследования является изучение различных альтернатив для получения сценариев.
Впоследствии аппроксимация функции получается с использованием эмпирического распределения случайных событий на основе имеющихся сценариев:
(Уравнение 2.1.6)
Таким образом, проблема аппроксимируется заменой в уравнении (2.1.5) на:
(Уравнение 2.1.7)
Теперь, если мы введем вспомогательные переменные вместо назначения ограничений, мы получим следующую оптимизационную задачу:
(уравнение 2.1.8)
Sa:
Наконец, можно заметить, что если функция потерь линейна по отношению к, то задача оптимизации в уравнении (2.1.8) может быть сведена к задаче линейного программирования, то есть должно быть ясно, его размер зависит от количества сгенерированных сценариев, поэтому необходимо использовать крупномасштабные методы линейного программирования. Предлагается эвристический алгоритм решения этой проблемы. Важной частью этой памяти является реализация вышеупомянутого алгоритма и получение сравнения прибыльности с VaR (точно так же, как Марковиц с эффективной границей).
2.3 Анализ доходности
Первое, что нужно сделать, это проанализировать доходность акций, составляющих инвестиционный портфель, чтобы наблюдать за их поведением на временном горизонте не менее T = 10 лет.
Эта информация имеет жизненно важное значение, поскольку на ее основе берутся основы как для разработки прогнозных моделей, так и для минимизации VaR, что будет отправной точкой в нашем исследовании.
После того, как портфель определен, следующий шаг соответствует получению ряда цен для каждой из этих компаний (см. Главу 1.5).
С этими рядами исторических цен прибыльность будет рассчитана следующим образом:
(уравнение 2.1.9)
Целью будет получение их годовой, ежемесячной и ежедневной прибыли, а также связанных с ними рисков, которые показаны через дисперсию и стандартное отклонение. Наконец, чтобы увидеть уровень диверсификации портфеля, также будет получена корреляционная матрица, которая даст нам представление об уровне диверсификации выбранного портфеля.
Что касается способов расчета доходности, можно сказать, что существуют различные альтернативы для их выполнения, некоторые из которых более сложны, чем другие, но всегда имеют что-то общее: прогноз цены инструмента на желаемый инвестиционный горизонт. При этом можно сказать, что как доходность, рассчитанная с помощью простых средств, таких как среднее историческое значение, так и вычисления по временным рядам, служат цели демонстрации поведения доходности для определенного временного горизонта.
Традиционным прогнозом, используемым многими финансовыми компаниями, является историческая средняя доходность, которая определяется следующим образом:
(уравнение 2.2.0)
Учитывая феномен возврата к среднему значению, существующему в доходности, это кажется хорошим приближением, однако это нереалистично, поскольку это статистический результат, который не учитывает тот факт, что горизонт инвестирования не равен T.
Вторая методология, которая учитывает траекторию доходности, - это оценка моделей временных рядов типа ARIMA (авторегрессионные интегрированные модели скользящих средних), которые в этом отчете не будут использоваться, поскольку историческая средняя доходность будет принята для весь период Т.
После получения исторической средней доходности на горизонте T необходимо дополнить эту меру, поскольку сама по себе она не является самодостаточной для принятия решения, поэтому риски портфеля будут проанализированы дополнительно.
Как правило, финансовые учреждения, такие как банки или денежные кассы, используют дисперсию для измерения волатильности акций, которая рассчитывается следующим образом:
(Уравнение 2.2.1)
Если предполагается, что возможная доходность актив распределяется по нормальному распределению (кривая Гаусса), можно сказать с уверенностью 95%, что будущая доходность этого актива будет принадлежать следующему интервалу:
(Ур. 2.2.2)
При таком предположении можно количественно определить ширину интервала, в котором будет падать будущая прибыльность, или также какова будет вероятность получения определенной доходности.
После того, как параметры, соответствующие доходности и волатильности каждого актива, были определены и рассчитаны, следующим шагом будет просмотр взаимосвязи между каждым из действий, с которой необходимо ввести ковариацию и коэффициент корреляции.
Ковариация будет указывать, каким будет поведение актива, когда произойдет изменение стоимости другого актива, и определяется следующим образом:
(Ур. 2.2.3)
Где и - возможные значения возврата для активов и b соответственно.
Ковариация указывает, насколько одно действие отличается от другого. Таким образом, если ковариация положительная, это означает, что когда одна акция растет, другая также имеет тенденцию расти; Если ковариация отрицательная, это означает, что когда «а» возрастает, «b» имеет тенденцию падать. Если ковариация близка к нулю, это означает, что два действия не связаны.
Статистический параметр, который также указывает на взаимосвязь между двумя действиями и который легче интерпретировать, - это коэффициент корреляции. Этот коэффициент определяется следующим уравнением:
(Уравнение 2.2.4)
Он должен:
(Уравнение 2.2.5)
Как и в случае интерпретации ковариации, коэффициент корреляции будет положительным, если оба действия движутся в одном направлении, и отрицательным, если действия движутся. в противоположных направлениях. С другой стороны, если действия не имеют отношения друг к другу, оно будет около нуля.
Преимущество этого коэффициента заключается в том, что помимо возможности интерпретировать направление, в котором движутся оба действия, он предоставляет нам информацию о величине этой взаимосвязи, которая выражается следующим образом:
Близко к 0 «слабая связь между акциями»
Близко к -0,5- «умеренная связь между акциями»
Близко к -1- «сильная связь между акциями»
После получения исторической средней прибыльности для установленного горизонта вместе с дисперсией, ковариационной матрицей и корреляциями акций выполняется прогноз будущих цен.
Чтобы спрогнозировать будущие цены акций, составляющих портфель, было решено создать сценарии прогноза цен с помощью процессов Винера с использованием матричных процедур для получения коррелированных активов и методов моделирования Монте-Карло.
2.4 Выбор акций, составляющих портфель отчета
Прежде всего, через Bloomberg мы получаем ежедневные цены закрытия для всех акций IPSA с 13 января 1994 г. по 10 августа 2007 г. Затем акции сортируются по дате начала в возрастающем порядке.
Критерии выбора портфеля следующие:
Более десяти лет исторических данных по ценам закрытия.
Присутствие на фондовом рынке равно 100%.
Наличие большого присутствия на фондовом рынке гарантирует, что акции хорошо ликвидны на фондовом рынке.
Таким образом, действия, которые соответствуют этим требованиям и которые будут использоваться в этом отчете, будут показаны в Таблице 1.2, те, которые выделены зеленым цветом, являются выбранными. Таким образом, действия, над которыми будет работать этот отчет, соответствуют половине IPSA, то есть в общей сложности 20 действий, с историческими данными с 22.05.1997 по 08.10.2007, с которыми иметь информацию за более чем 10 лет с 2667 образцами для каждой компании.
Таблица 1.2 Пример действий Чили, выбранных для отчета
Источник: собственная разработка
Целью этих ценовых рядов будет получение годовых, еженедельных и ежедневных доходов, а также связанных с ними рисков, которые показаны через дисперсию и стандартное отклонение. Наконец, чтобы увидеть уровень диверсификации портфеля, также будет получена корреляционная матрица, которая даст нам представление об уровне диверсификации выбранного портфеля.
Исторические данные о действиях, предоставленные Bloomberg, относятся к периодам с понедельника по воскресенье, повторяя цену закрытия пятницы на выходные, что генерирует ошибку, если база данных не очищается. Поэтому они очищаются с помощью программы SPSS (Статистический пакет социальных наук, стандартная версия, 11.5). Мы создаем переменную dys, которая будет переменной выходного дня, а затем она фильтруется с возможностью удаления этой переменной, другими словами, исключения выходных. Синтаксис следующий:
COMPUTE syd = XDATE.WKDAY (дата).
ПЕРЕМЕННЫЕ МЕТКИ syd «Суббота и воскресенье».
ВЫПОЛНИТЬ.
ИСПОЛЬЗУЙТЕ ВСЕ.
ВЫБРАТЬ ЕСЛИ (syd ~ = 1 & syd ~ = 7).
ВЫПОЛНИТЬ.
Продолжая анализ ценового ряда, следующим шагом будет получение прибыли для каждого из действий, для которого поведение ценового ряда сначала будет проанализировано графически. Этот анализ будет выполнен с использованием программного обеспечения Microsoft Excel 2003.
Графические результаты ценовых рядов показаны ниже:
По оси Y отложены цены ряда, а по оси X - время. По оси абсцисс вы можете увидеть номер пробы, связанный с датой. Серия содержит около 2667 данных, которые представляют информацию примерно за 10 лет, за исключением нерабочих дней (суббота и воскресенье).
Графическое изображение поведения ценового ряда
График 1.2 Динамика цен выбранных акций (1997-2007 гг.)
Источник: собственная разработка
График 1.2 показывает, что цена акций с течением времени по большей части демонстрирует экспоненциальное поведение, однако в конкретном случае с акциями Madeco происходит обратное явление, то есть наоборот. пропорционально остальным акциям. Это для следующего:
Начиная с 1999 года компания столкнулась с рядом трудностей на своих рынках, которые неблагоприятно отразились на ее результатах. Азиатский кризис, начавшийся в 1998 году, привел к значительному падению уровня промышленной активности на рынках, обслуживаемых Madeco, особенно в телекоммуникационной и строительной отраслях. В 1999 году девальвация бразильской валюты повлияла на конкурентоспособность Ficap, уменьшив ее вклад в консолидированные результаты. В последние годы из-за ухудшения состояния экономики основных стран Южной Америки произошло сокращение объемов инвестиций в отрасли, которые поставляет компания, особенно в телекоммуникационную сферу. Эта неблагоприятная ситуация усилилась в 2001 и 2002 годах.из-за экономического кризиса, произошедшего в Аргентине (вызвавшего закрытие заводов и признание положений Madeco). В 2003 году компания начала процесс реструктуризации своей деятельности, направленный в первую очередь на повышение эффективности производственных процессов в сочетании с сокращением структуры расходов и усилением своей коммерческой стратегии. Хотя уровень продаж снизился на 8% по сравнению с 2002 годом, операционный результат увеличился на 84%, отражая произведенные операционные корректировки. По состоянию на сентябрь 2004 г. усиление коммерческой стратегии компании вместе с ростом экономической активности на основных рынках (Бразилия и Чили) привело к значительному увеличению объема продаж и способности генерировать денежные потоки.
Это нашло отражение в положительной тенденции операционной маржи, которая достигла 8,2%, аналогичной той, которая была получена до 1999 года. Компания ожидает, что в 2005 году консолидация ее операционной структуры отразится на стабилизации ее рентабельности., Затем следующим шагом было вычисление исторической доходности, которая была получена по формуле исторической средней доходности (уравнение 2.2.0). Результаты представлены на рисунках 1.8 и 1.9 на основе ежедневных данных:
На основе прибыльности периода между 97-07 годами можно получить ожидаемую доходность для различных требуемых периодов, таких как годовая, недельная или дневная ожидаемая доходность.
Таким образом, дневные цены были преобразованы в дневную доходность по формуле (уравнение 2.1.9), чтобы затем преобразовать дневную, недельную и годовую доходность с помощью следующего уравнения:
(уравнение 2.2.6).
Где f соответствует частоте между возвратами, это возврат, который принимается как данные, и это стандартизованный возврат к требуемой частоте.
Пример: если у нас есть годовой доход, и мы хотели бы разложить его на ежемесячной основе, то f = 1/12, поскольку в году 12 месяцев. В противном случае, если у вас была средняя дневная доходность и вы хотели перейти на ежемесячную основу, тогда f = 21, поскольку в среднем в месяце 21 рабочий день с транзакциями.
Таблица доходности акций, составляющих портфель.
Таблица 1.3. Историческая доходность периода (с 1997 по 2007 гг.)
Источник: собственная разработка
Таблица 1.4. Детализация доходности за период (1997-2007 гг.)
Источник: собственная разработка
В Таблице 1.3 можно увидеть, что как дневная, так и недельная доходность акций Madeco показывают отрицательные значения, то есть, если инвестор вкладывает средства в эту акцию, он потеряет деньги. Это утверждение не соответствует действительности, поскольку, если посмотреть на Таблицу 1.4, подробно описаны годовые доходы от этого действия, в среднем 45,8% дохода в год. Следует отметить, что в нашем исследовании еженедельные данные (t = недели) будут использоваться для их введения в винеровский процесс, который будет показан ниже.
ГЛАВА III ГЕНЕРАЦИЯ СЦЕНАРИЕВ С ПОМОЩЬЮ ПРОЦЕССА ВИНЕРА И МЕТОДА МОДЕЛИРОВАНИЯ МОНТЕКАРЛО.
Цель генератора сценариев - создать набор значений задействованных переменных решения в рамках определенного горизонта планирования, выходом которого является сценарий или их набор и который содержит историческое поведение переменных.
Альтернативой для создания сценариев будущей прибыльности является использование процессов Винера с использованием матричных процедур и методов моделирования Монте-Карло.
3.1 Введение в стохастическую методологию
Можно сказать, что любая переменная, значения которой изменяются неопределенным образом с течением времени, следует случайному процессу. Эти типы процессов можно разделить на дискретные или непрерывные во времени.
Случайный процесс с дискретным временем - это случай, когда значение переменной может изменяться только в определенные моменты времени. С другой стороны, стохастический процесс непрерывного времени - это процесс, в котором изменения могут происходить в любой момент времени.
Стохастические процессы также можно разделить на непрерывные или дискретные переменные. В процессах с непрерывными переменными значения, которые могут принимать переменные, определяются диапазоном, в то время как в процессах с дискретными переменными определяется диапазон возможных значений, которые остаются фиксированными на протяжении всего процесса.
В ходе этой работы, которая в этой части ориентирована на прогнозы цен акций, будут разработаны процессы непрерывных переменных и непрерывного времени. Знание этого типа процесса важно для понимания управления другими производными инструментами, такими как опционы.
Следует отметить, что на практике цены на акции, которые следуют непрерывным переменным или непрерывным временным процессам, не соблюдаются, поскольку эти цены зависят от определенных дискретных значений, например: целых значений или кратных песо, центов или песо и, с другой стороны,, колебания цен зависят от дней, в которые биржи торгуют. Однако процессы с переменным и непрерывным временем оказались очень полезным инструментом для этого типа целей.
3.2 Марковский процесс
Марковские процессы определяются как особый тип случайных процессов, в которых только текущее значение переменной имеет значение для предсказания будущего. В более общем плане можно сказать, что как история переменной, так и шум, создаваемый этой переменной в настоящем, не будут иметь значения для предсказания будущего значения. Что касается цен на акции, стоит упомянуть, что обычно предполагается, что прогнозы могут быть сделаны с помощью марковских процессов, при которых прогноз будущей цены акции не будет зависеть от цен вчерашнего дня, прошлой недели или прошлый месяц.
Эта теория согласуется со всем, что предлагается в теориях, таких как рыночная эффективность, где постулируется, что текущая цена акции включает в себя всю прошлую информацию.
Поскольку прогнозы на будущее неопределенны, они должны быть выражены в виде распределений вероятностей. В этом отношении свойство Маркова подразумевает, что распределение вероятностей цены акции в будущем не будет зависеть от некоторого паттерна, за которым последовало такое же действие в прошлом, а только от его текущего состояния.
3.3 Винеровский процесс
Этот процесс представляет собой тип стохастического марковского процесса, также известного как броуновское движение, где его среднее значение равно 0, а его дисперсия равна 1. Этот процесс широко используется в физике для описания движения частиц, подверженных воздействию большого количества вариации.
Формально переменная следует винеровскому процессу, если она соответствует следующим свойствам:
Свойство 1: изменение за короткий период времени:
(уравнение 2.2.7).
Где - случайная величина со стандартным нормальным распределением.
Свойство 2: значения для двух малых интервалов времени независимы.
Продолжая то, что было показано в свойстве 1, где само по себе оно имеет нормальное распределение с:
и
Из второго свойства следует, что z следует марковскому процессу.
Учитывая увеличение значения z в течение приблизительно длительного периода времени T, мы можем обозначить это увеличение с помощью. С другой стороны, это также можно рассматривать как сумму небольших приращений z в N (малых) временных интервалах, где:
Таким образом,
(уравнение 2.2.8).
Где случайные величины с распределением. С другой стороны, из второго свойства винеровского процесса следует, что переменные независимы друг от друга. Затем, продолжая то, что было ранее указано в (уравнение 2.2.8), следует, что он обычно распределяется с:
и
Что согласуется с тем, что обсуждалось в начале этой главы.
Что касается расчетов, следует отметить, что небольшие изменения обозначаются пределом, что делает эти изменения близкими к нулю. Таким образом, это можно выразить как. Когда у вас есть случайные процессы, вы можете действовать таким же образом, как винеровский процесс выражается как предел, где для процесса, описанного выше для z.
3.4 Обобщенный винеровский процесс
Базовый винеровский процесс имеет нулевую скорость изменения и единицу дисперсии. Скорость изменения, равная нулю, означает, что ожидаемое значение z в любой момент в будущем будет равно его текущему значению. С другой стороны, то, что дисперсия равна 1, означает, что дисперсия изменений z во временном интервале T будет равна T.
Обобщая винеровский процесс для переменной x через z, получаем:
(уравнение 2.2.9).
Где a и b - константы.
Чтобы понять приведенное выше уравнение, полезно рассмотреть сумму двух независимых компонентов, где термин означает, что x имеет скорость изменения a в единицу времени. Без учета члена, представленного буквой b, уравнение можно представить следующим образом:
Что, решая дифференциальное уравнение, дает нам следующее:
где - значение x в момент времени 0. Это означает, что для каждого периода времени t значение x будет увеличиваться со скоростью.
Член уравнения можно рассматривать как шум или изменение шаблона, за которым следует x. Таким образом, количество шума или изменчивости в уравнении будет определено как b умноженное на винеровский процесс.
Поскольку винеровский процесс имеет стандартное отклонение, равное 1, следуя линии, которую мы разработали, мы получим, что b раз винеровский процесс даст нам стандартное отклонение b. При этом, если мы возьмем небольшие временные интервалы, изменения значения x будут определяться уравнениями (2.2.7 и 2.2.8), например:
Где, как объяснялось ранее, это соответствует случайной величине со стандартным нормальным распределением. Из этого следует, что он имеет нормальное распределение с:
С помощью тех же аргументов, которые были представлены для винеровского процесса, показано, что для любого изменения значения x во временном интервале t, x будет нормально распределяться с:
Среднее изменение x =
дисперсия изменения x =
Таким образом, обобщенный винеровский процесс, задаваемый уравнением 2.2.9, имеет ожидаемую скорость изменения в единицу времени, равную a, и дисперсию в единицу времени, равную.
Существуют аналогичные альтернативы винеровскому процессу, где переменные a и b, вместо того, чтобы быть постоянными, могут быть функциями переменных по отношению к переменным x и t, порождая более сложное стохастическое дифференциальное уравнение.
3.5 Прогноз цен на акции
С этого момента мы сосредоточимся на стохастических процессах, используемых для определения цен на акции, без учета дивидендной политики компаний.
Было бы заманчиво предположить, что цены на акции следуют обобщенному винеровскому процессу, то есть что скорость их изменения постоянна, а дисперсия постоянна. Однако этот метод будет устаревшим, если учесть наиболее важную характеристику цены акции, а именно то, что ожидаемый процент доходности, требуемый инвесторами от акции, не зависит от ее цены. Ясно, что предположение о постоянстве обменного курса было бы неуместным и должно быть заменено предположением о том, что ожидаемая доходность (ожидаемое изменение цены акций) постоянна.
Таким образом, если S определяется как цена акции в момент времени t, скорость изменения цены будет обозначаться как постоянный параметр. Таким же образом для малых интервалов времени ожидаемое увеличение S будет выражаться
Применительно к, этот параметр соответствует ожидаемой доходности акции, выраженной в десятичной форме.
Таким образом, если мы предположим, что волатильность цен акций всегда была равна нулю, модель была бы представлена следующим образом:
Если предположить, Интегрируя уравнение между интервалом, получаем:
(Ур. 2.3.0).
Где и - цены акций в момент времени ноль и Т соответственно. Уравнение (2.3.0) показывает, что, когда дисперсия равна нулю, цена акции будет непрерывно изменяться в зависимости от курса в единицу времени.
Предположение, что колебания цен на акции не проявляют волатильности, довольно далеко от реальности. Учитывая это, разумно предположить, что изменчивость акции будет выражаться в процентах от ее цены и, как и доходность, эта стоимость не будет зависеть от цены акции.
Наконец, прогностическая модель будет определяться:
(Уравнение 2.3.1).
Вышеприведенное уравнение является одним из наиболее часто используемых для моделирования поведения цен акций, где оно соответствует волатильности акций или стандартному отклонению, это ожидаемая доходность и соответствует случайной матрице Холецкого (матрица корреляции, транспонированная на, которая является случайной величиной из стандартного нормального распределения (с нулевым средним и 1 стандартным отклонением).
3.6 Обобщение прогнозирования цен
Разработанная выше модель поведения цен акций известна как геометрическое броуновское движение и в дискретной форме представлена:
(Уравнение 2.3.2).
(Уравнение 2.3.3).
Переменная представляет собой изменение цены акции за небольшой интервал времени и является случайной величиной из стандартного нормального распределения (с нулевым средним и 1 стандартным отклонением).
Левая часть уравнения (2.3.2) соответствует возврату действия во временном интервале. Этот термин соответствует ожидаемому значению доходности и представляет стохастический компонент доходности.
Уравнение (2.3.2) показывает, что оно нормально распределено со средним значением и стандартным отклонением, другими словами:
3.7 Прогностическая модель
Процессы броуновского движения будут использоваться в качестве модели для получения будущих доходов. Для этого будут сгенерированы нормальные случайные числа, в которые будут включены ожидаемая доходность, стандартные отклонения и случайные корреляции активов на основе исторических данных, таким образом, генерируя прогноз будущих доходов.
В соответствии с вышеизложенным, способ прогнозирования будущих ежедневных доходов будет таким, как предложено в (2.3.1), за исключением того, что при работе с ежедневной информацией и желании прогнозировать один день разница во времени будет равна a 1. Таким образом, для данного конкретного случая уравнение будет определяться следующим образом:
(Уравнение 2.3.4).
Для каждого значения случайной величины с нормальным распределением создается сценарий будущей прибыльности для следующей единицы времени. Это повторяется большое количество раз, и все эти сценарии используются для получения таких показателей, как средняя доходность и дисперсия акций. Это так называемое моделирование Монте-Карло.
3.7.1 Моделирование Монте-Карло
Принятие решений в условиях неопределенности подразумевает стремление спрогнозировать будущее, чтобы предвидеть ситуации риска, подготовиться к нежелательным условиям, избежать неправильных вариантов и воспользоваться благоприятными ситуациями.
Для этого моделирование методом Монте-Карло является очень хорошим научно-обоснованным инструментом, с помощью которого можно предсказать ряд ситуаций или возможных сценариев события.
Таким образом, в 1998 году Нассир Сапаг определил процессы Монте-Карло как метод моделирования неопределенных сценариев, который позволяет получать ожидаемые значения для неконтролируемых переменных посредством случайного выбора, где вероятность выбора результата соответствует тот, который дается его распределением.
3.7.2 Соотношение доходностей
При анализе доходности очень важно оценить их корреляцию, поскольку этот индикатор дает нам представление о поведении актива при изменении стоимости другого актива. Другими словами, коэффициент корреляции говорит нам, в какой степени два действия движутся в одном направлении.
При генерации случайных чисел и получении различных сценариев ожидаемой доходности с помощью уравнения (2.3.1) и доходность, и волатильность будут примерно соответствовать полученным на основе исторических данных (теоретически они одинаковы), но поведение действий друг к другу не моделируются. Это означает, что без учета корреляций при моделировании доходности они будут полностью независимыми друг от друга (коэффициенты корреляции близки к нулю), что при построении портфелей означает получение прогнозов, довольно далеких от реальности. Альтернативой моделированию является разложение Холецкого, которое обсуждается в следующем разделе.
Один из способов создания прогнозов коррелированной доходности так же, как они коррелировались в прошлом, - это разложение или факторизация Холецкого.
В линейной алгебре разложение Холецкого соответствует разложению матриц, в котором положительно определенная симметричная матрица разлагается на произведение двух матриц.
Теорема 1: Каждая симметрическая матрица A положительно определена тогда и только тогда, когда существует верхнетреугольная матрица S со строго положительной диагональю такая, что:
Это разложение матрицы A известно как ее факторизация Холецкого.
Одно из наиболее важных применений представленных треугольных факторизаций состоит в том, что они позволяют решить систему как две треугольные системы, то есть с помощью двух процедур подстановки: одной прямой, а другой - обратной.
Далее будет продемонстрировано, как с помощью разложения Холецкого можно получить коррелированные ряды данных из данных, которые не были коррелированы.
Шон::
Среднее значение исторических данных
: его матрица дисперсий и ковариаций.
A: Корреляционная матрица исторических данных.
Затем:
(уравнение 2.3.5).
Где D - диагональная матрица с элементом
(уравнение 2.3.6).
То есть D - это матрица, которая имеет обратные стандартные отклонения по диагонали.
Пусть S - разложение матрицы Холецкого:
Подставляя это выражение в (2.3.5), получаем:
Это означает, что матрица факторизации Холецкого R имеет вид:
Далее будет показано, что из вектора, то есть независимого и предварительно умноженного на матрицу разложения Холецкого R, коррелированный вектор нормали получается таким же образом, как и исторические данные; то есть:
Известно, что, и это, Подставляя это уравнение в предыдущее, мы имеем:
Из уравнения (2.3.6) мы получаем, что это диагональная матрица, элементы которой являются обратными диагональным элементам матрицы R, которая, поскольку R является корреляционной матрицей, эти значения будут равны 1. Следовательно, это равна единичной матрице, поэтому показано, что:
3.7.3 Генерация сценариев
После получения коррелированных случайных чисел уравнение (2.3.3) используется для восстановления среднего и исторического стандартного отклонения данных. Матрично это можно выразить как:
Таким образом, генерируется случайный вектор со средним значением и стандартным отклонением, равными историческим значениям, что демонстрируется:
Где, следовательно:
В случае расхождения:
Но как, А как тогда:
Умножая до и после умножения (а) на, мы видим, что:
Таким образом:
При этом было показано, что с помощью уравнения (2.3.2) и сценариев разложения Холецкого можно сгенерировать со средним значением и матрицей дисперсий и ковариаций, равными историческим.
3.7.4 Реализация прогнозной модели
Метод Монте-Карло - это алгоритм, который используется для оценки ожидаемого значения случайной величины посредством генерации сценариев, с помощью которых получается представление о поведении переменных.
Таким образом, с помощью Matlab 7.4 и TomLab / CPlex (компилятор для оптимизации) алгоритм будет «работать» на компьютере Intel (R) Xeon (TM), 2 процессорах 3,4 ГГц и 2 ГБ оперативной памяти с операционной системой Microsoft. Windows Server 2003, в котором для каждого действия в портфеле будет генерироваться серия случайных чисел, имитирующая набор ежедневных и еженедельных сценариев. Таким образом, будет получено большое количество сценариев (от 2000 до 5000, на основе рекомендации Джонсона в), распределенных в соответствии со стандартной нормой со средним значением и стандартным отклонением, равными данным, а также с той же корреляцией (как объясняется в предыдущая глава).Таким образом, будет получена матрица с количеством строк, равным количеству обработанных действий, и количеством столбцов, равным количеству сценариев, определенных в моделировании.
Как было сказано, генерация случайных чисел будет зависеть от количества активов, которыми управляют в портфеле, что система распознает через размерность вектора ожидаемой доходности. С другой стороны, количество сценариев, которые будут моделироваться еженедельно, вводится вручную с помощью параметра, называемого «образец».
После того, как случайные числа были сгенерированы, разложение Холецкого позволяет получать коррелированные ряды таким же образом, как данные были коррелированы в прошлом, но с сохранением средних значений и стандартных отклонений случайных чисел, то есть и. Размер этой новой матрицы такой же, как размер, созданный случайными числами.
После того, как данные были скоррелированы, следующий шаг соответствует получению ряда со средними значениями и стандартными отклонениями, равными историческим, поскольку, как было замечено, акции имеют доходность, отличную от нуля, и волатильность, отличную от единицы.
Включение доходности, волатильности и исторической корреляции ряда осуществляется посредством уравнения (2.3.4), которое получено в результате разработки винеровского процесса. Таким образом, получается матрица, представляющая серию возможных сценариев с точки зрения доходности для каждой из акций в портфеле за временной горизонт, соответствующий одной неделе.
Таким образом, генерация случайных чисел, таких как процедуры для получения корреляций, доходности и стандартных отклонений, равных историческим, будет повторяться для каждой недели, когда требуется моделирование, создавая трехмерную схему (количество действий, количество еженедельных сценариев для моделировать и недельные горизонты для прогнозирования).
Программа предоставит две альтернативы для генерации сценариев, одна, как мы уже видели, с использованием исторического среднего значения, полученного с помощью уравнения 2.2.0. а другой - с помощью данных экспертной оценки, в нашем случае с помощью программного обеспечения «Bloomberg», которое предоставит данные из уравнения 2.3.6, известного как «Модель оценки капитальных активов» или «Модель оценки капитальных активов». (Capm), эта модель часто используется в финансовой экономике. Это предполагает, что чем выше риск инвестирования в актив, тем выше должна быть прибыль от этого актива, чтобы компенсировать этот повышенный риск. Следовательно, имеем:
Уравнение (2.3.6).
Где
:: Безрисковая ставка или, в Чили, 5-летние индексированные облигации Центрального банка
: рыночная ставка, в нашем случае это годовой IPSA.
(Rm - Rf): представляет собой избыточную доходность рыночного портфеля.
: Коэффициент бета используется для измерения недиверсифицируемого риска. Это показатель того, насколько актив реагирует на изменение рыночных показателей. Коэффициент бета, характеризующий рынок, равен 1; все остальные коэффициенты оцениваются относительно этого значения. Бета-версии активов могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, хотя (положительные) значения являются нормой. Большинство бета-коэффициентов составляют от 0,5 до 2 (экспертная оценка).
Позже мы преобразуем к с помощью следующего уравнения:
Уравнение (2.3.7).
Применяя уравнение. 2.3.7 и с использованием каждого актива, остается следующее:
Таблица 1.5 Пример получения среднего за неделю с помощью CAPM и среднего значения, полученного с помощью исторических данных
Источник: собственная разработка
Таблица 1.5 показывает средние за неделю (u_weekly) с помощью Capm для 20 активов, которые будут заменены в уравнении 2.3.4, полученном в результате разработки винеровского процесса. Таким образом, получается матрица, которая представляет серию возможных сценариев с точки зрения доходности для каждой из акций в портфеле для временного горизонта, соответствующего одной неделе. Разница между средними значениями, полученными Capm, и историческими данными явно осознается, потому что за последние 10 лет на фондовой бирже Сантьяго произошел значительный рост цен на акции, поэтому при использовании историческое среднее значение будет при наличии большого количества «шума». Учитывая вышеизложенное, удобно использовать среднее значение за неделю, полученное Capm, поскольку оно гораздо более консервативно.
ГЛАВА IV АЛГОРИТМ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ РАСЧЕТА VaR
В этой части будет представлен алгоритм минимизации VaR, для которого рассмотрены все допущения, указанные в уравнениях (уравнения 2.4 - 2.9).
4.1 Неформальное описание алгоритма
По определению -VaR - это наименьшее значение, так что вероятность того, что потери будут меньше или равны этому значению, больше или равна. На основе моделирования сценариев портфель -VaR; портфель, вероятность того, что убыток меньше или равна VaR, больше или равна, оценивается как убыток в сценарии k, где общая вероятность всех сценариев с убытками, меньшими или равными, составляет не менее.
Общая идея эвристического алгоритма, рассматриваемого в этой статье, довольно проста. Это начинается с оптимального портфеля, который получается путем аппроксимации минимального CVaR, затем VaR портфеля систематически снижается путем решения серии задач CVaR с использованием методов линейного программирования. Эти проблемы CVaR получаются путем ограничения и «отбрасывания» сценариев, которые показывают большие потери.
Цель алгоритма - построить верхние пределы для VaR, а затем минимизировать эти пределы. Первая верхняя граница для -VaR - -CVaR, которая минимизирована. Сценарии, в которых потери превышают -VaR, затем разделяются, и верхняя часть этих сценариев «отбрасывается» (см. Рисунок 2.2). Количество отбрасываемых сценариев определяется параметром (например, если он равен 0,5, отбрасывается верхняя половина). На рисунке 1.4 показан первый шаг подхода, когда сценарии с высокими потерями отбрасываются и исключаются (делая их «неактивными»). Затем новый вычисляется таким образом, что CVaR с этим новым является верхним пределом для VaR исходной задачи. Этот -CVaR представляет собой ожидаемую потерю активных сценариев с потерями, превышающими -VaR, то естьсценарии между -VaR и пунктирной линией на рисунке. Таким образом, верхний предел снижается до минимума. Таким образом, процедура состоит из построения ряда верхних пределов, которые сокращаются до минимума до тех пор, пока не станет возможным продолжить исключение активных сценариев. В конце этой процедуры используется рассматриваемая эвристика, в которой потери минимизируются, при этом гарантируя, что потери в сценариях, которые превышают, сохраняются в. Такой подход требует решения ряда задач линейного программирования.Процедура состоит из построения ряда верхних пределов, которые сокращаются до минимума до тех пор, пока не станет возможным продолжить исключение активных сценариев. В конце этой процедуры используется рассматриваемая эвристика, в которой потери минимизируются, при этом гарантируя, что потери в сценариях, которые превышают, сохраняются в. Такой подход требует решения ряда задач линейного программирования.Процедура состоит из построения ряда верхних пределов, которые сокращаются до минимума до тех пор, пока не станет возможным продолжить исключение активных сценариев. В конце этой процедуры используется рассматриваемая эвристика, в которой потери минимизируются, при этом гарантируя, что потери в сценариях, которые превышают, сохраняются в. Такой подход требует решения ряда задач линейного программирования.
Рисунок 1.4 Графический пример реализованного алгоритма.
Источник:
На рисунке 1.4 видно, что на втором этапе алгоритма сценарии, которые показывают самые высокие потери, ограничиваются и отбрасываются (делая их неактивными). Таким образом, создается новый CVaR таким образом, что этот CVaR является верхним пределом VaR.
В следующем разделе алгоритм будет объяснен более подробно.
4.1.1 Алгоритм
В этом разделе дается формальное описание ранее введенного алгоритма.
Обратите внимание, что решение этой задачи оптимизации дается формулой
ii) Что касается значения функции потерь, расположите сценарии в порядке возрастания, обозначая сценарии, упорядоченные по,.
Шаг 2: Оценка VaR.
Рассчитайте оценку VaR,, где
.
Шаг 3: критерии остановки алгоритма
Да, остановите алгоритм. Где будет оптимальная оценка портфеля и будет равен VaR.
Шаг 4: сброс
я).
ii) и
iii).
iv) Переходите к шагу 1.
Другими словами:
Шаг 1. Подзадача оптимизации
Что касается значения функции потерь, расположите сценарии в порядке возрастания, обозначая сценарии, упорядоченные по,.
f (xi *, yln) <= f (xi *, yl2) <= …….. <= f (xi *, yl5000)
Шаг 2: Оценка VaR.
l (0,95) = l = 0,95 * 5000 = 4750
α = 0,95; я = 0; H0 = {1… 5000}
Шаг 3: критерии остановки алгоритма
Да, остановите алгоритм. Где будет оптимальная оценка портфеля и будет равен VaR.
Следовательно, в позиции 4486 минимальный риск (VaR) соответствует ожидаемой доходности.
После формального определения проблемы каждый из предыдущих шагов объясняется более подробно.
Шаг 0 инициализирует алгоритм, определяя уровень достоверности как, и устанавливая счетчик итераций на ноль.
Сценарии, включенные в подзадачу оптимизации CVaR (уравнение 2.3.8), определены как активные. Изначально все сценарии активны и обозначается набором H0 (на самом деле этот набор обозначает набор индексов активных сценариев). На следующих шагах, когда решается подзадача оптимизации, определенная CVaR, будет рассматриваться только набор активных сценариев, определенных Hi (подчеркнем, что Hi - это набор индексов активных сценариев в Шаг i). Так называемые неактивные сценарии соответствуют тем, которые были исключены в предыдущих итерациях. Параметр определяет долю сценариев в очереди, которые будут исключаться на каждой итерации. Например, если = 0,5, половина очереди исключается на каждой итерации.Позже мы присвоим этой переменной разные значения, чтобы увидеть, как эти вариации влияют на алгоритм.
Шаг 1 решает подзадачу оптимизации по уменьшению -CVaR, который является верхней границей -VaR. Переменная является свободной переменной, которая гарантирует, что потери в неактивных сценариях превышают потери, соответствующие активным сценариям.
На этапе 2 VaR оценивается как потеря в сценарии, так что совокупная вероятность сценариев с потерями, меньшими или равными потерям в этом сценарии, больше или равна.
На шаге 3 алгоритм останавливается, когда оптимизация подзадачи была выполнена только для одного из активных сценариев, то есть, когда потери в сценарии, соответствующем оценке -VaR, были минимизированы. Таким образом, количество итераций, которые необходимо выполнить до получения оптимального решения, будет зависеть от величины следующих параметров:
J: Количество образцов или сценариев для моделирования.
Альфа (): Уровень уверенности. (-VaR)
Chi (): доля сценариев в очереди, которые будут исключены на каждой итерации.
На шаге 4 он определяется таким образом, что -CVaR, который рассчитывается только на основе активных сценариев, является верхним пределом исходного -VaR. Минимизация -CVaR по активным сценариям приводит к минимизации среднего значения активной очереди, которое превышает -VaR. Эта ситуация проиллюстрирована на Рисунке 2.2.
Кроме того, на этом этапе верхняя часть активных сценариев, превышающая -VaR, исключается из системы активных сценариев Hi. Например, как показано на рисунке 1.4, на первой итерации очередь делится на две части, верхняя часть очереди становится неактивной, а нижняя часть соответствует набору H1 активных сценариев.
4.2 Результаты алгоритма оптимизации
В этой части главы будут показаны результаты, полученные с помощью алгоритма оптимизации.
В качестве первого шага используются только переменные, относящиеся к количеству сценариев для моделирования (J), уровню достоверности (α), который определяет α -VaR и долю сценариев в очереди, которые будут исключаться на каждой итерации (ξ), получая поведение VaR в выбранном портфеле при ограничениях диверсификации 30% и отсутствии спроса на доходность, этот расчет будет выполнен аналогичным образом для двух случаев генерации сценариев; историческое среднее и рассчитанное с использованием Capm (см. раздел 3.7.4).
Для описанных выше случаев приняты следующие значения:
J = 5000 α = 0,95 ξ = 0,5
Таблица 1.6 Результаты данных реализованного алгоритма с использованием исторического среднего значения за неделю и среднего значения по Capm.
Источник: самодельный
Таблица 1.6 показывает, что при тех же условиях, генерации сценариев, доходность более оптимистична, когда используется историческое среднее вместо среднего Capm, этого явления следовало ожидать, поскольку была взята выборка активов. Для анализа он рассматривает только последние 10 лет (1997-2007 гг.), А именно период, в течение которого фондовый рынок вырос больше, чем ожидалось, поэтому мы должны учитывать результаты алгоритма, используя среднее значение, полученное Capm, так как это более консервативные данные.
Следует отметить, что сам алгоритм выбрал активы с положительной доходностью за счет активов с отрицательной доходностью, что дает представление о том, как он работает.
Также наблюдается, что в обоих случаях, когда время увеличивается с 4 до 36 недель, доходность увеличивается, тем самым увеличивая риск.
График 1.3 График сравнения двух вариантов моделирования сценариев
Источник: собственная разработка
Анализируя график 1.3, мы наблюдаем сохранение основного принципа финансирования, который гласит, что чем выше доходность, тем больше риск (VaR), применяемый для двух случаев использования средств.
Как упоминалось в предыдущем абзаце, можно видеть, что при использовании исторического среднего прогноз доходности относительно риска более оптимистичен, чем прогноз среднего Capm, поскольку второй является более консервативным.
Продолжая наше исследование, мы теперь устанавливаем горизонт прогноза в 24 недели (6 месяцев), 5000 сценариев (J = 5000), доверительный интервал 90% (α = 0,9) и ξ = 0,5 (фиксированный параметр алгоритма, индикаторы эта половина хвоста исключается на каждой итерации) и изменяя диверсификацию (div) и требуя возврата, результаты следующие:
Таблица 1.7 Данные предоставлены программой (тезисы)
Источник: собственная разработка
В Таблице 1.7 можно увидеть, что при том же сценарии (div = 0,3), если я позволю алгоритму работать «в одиночку», то есть не требуя определенного дохода, он получит более низкий риск (VaR), чем когда Доходность 5,5%.
Теперь, требуя от алгоритма, чтобы инвестиционный портфель сдавал в аренду не менее 6% с той же диверсификацией 30%, он не находит оптимальный портфель с запрошенной доходностью, поскольку в этот период больше нет прибыльных действий, поэтому программа выдает сообщение «Ошибка», «попробуйте снизить рентабельность».
Таким образом, если мы оставим диверсификацию равной 1, то есть алгоритм выбирает наиболее прибыльные акции и свободно инвестирует без ограничения, когда инвестировать в каждую акцию, и мы требуем, чтобы алгоритм сдавал в аренду не менее 6%, Риск категорически возрастает из-за требования более высокой доходности, это, несомненно, должно быть выполнено, поскольку это один из основных принципов финансирования: чем выше риск портфеля, тем выше ожидаемая доходность.
Теперь анализируем другие случаи:
Сценарии: 5000 и используя среднюю недельную Capm.
Таблица 1.8. Изменение доверительного интервала для трех периодов времени
Источник: собственная разработка
В Таблице 1.8 было проанализировано изменение уровня достоверности (90%, 95% и 99%) для трех периодов времени 4, 12 и 20 недель соответственно, с одинаковым уровнем диверсификации 20% и без требования возврата. Для трех периодов времени можно увидеть, что чем ниже доверительный интервал VaR, тем ниже риск, связанный с портфелем, и по мере увеличения уровня достоверности связанный с ним риск значительно возрастет.
Таблица 1.9. Изменение уровня диверсификации для временного горизонта 8 недель и доверительного интервала 95%.
Источник: самодельный
В Таблице 1.9 можно увидеть, что по мере увеличения уровня диверсификации алгоритма ожидаемая доходность портфеля и связанный с ним риск очень похожи, это происходит, поскольку это ограничение определяет, когда это максимальное значение, которое может быть достигнуто. инвестировать в каждый актив. Как правило, это ограничение используется Администраторами Общего фонда, поскольку SVS налагает их в соответствии с правилом № 148.
Наконец, для временного горизонта 12 недель (3 месяца) и с уровнем уверенности 95%, а также с уровнем диверсификации портфеля 30%, были получены следующие результаты:
Таблица 2.0. Вариация ζ в алгоритме
Источник: собственная разработка
В таблице 2.0 видно, что при увеличении параметра chi (ξ) в алгоритме ожидаемая доходность портфеля и связанный с ним риск остаются постоянными, эти результаты соответствуют ожидаемым, поскольку этот параметр связан со временем, которое требуется. алгоритм сходится к решению, другими словами, количество итераций, которые он должен пройти, чтобы достичь оптимума.
4.3 Проверка алгоритма оптимизации
Чтобы убедиться, что наш алгоритм эффективно предоставляет оптимальный вектор весов для инвестирования в каждую акцию с минимальным риском VaR, было сделано следующее:
был взят предыдущий пример (J = 5000, α = 0,9, div = 0,3, горизонт = 24 недели. и возврат остался бесплатным). Программа была запущена, и оптимальный вектор, полученный с помощью алгоритма X *, был изменен следующим образом:
X1 = X * + e1 VaR1, E (r) 1
X2 = X * + e2 VaR2, E (r) 2
X3 = X * + e3 VaR3, E (r) 3
…
Xn = X * + e4 VaRn, E (r) n,
где y.
То есть в векторе 1-я компонента была нарушена на 1%, остальные компоненты были вычтены, где n - количество компонентов, которые больше 0,01 (чтобы они были не меньше 0 и чтобы сумма Xi равно 1). Впоследствии ожидаемая доходность и VaR были рассчитаны в новой точке X.
Чтобы показать, что мы действительно находимся в наличии оптимума, результирующий график должен выглядеть так:
Рисунок 1.5 Проверка оптимума, обеспечиваемого алгоритмом
Источник: собственная разработка
Это означает (см. Рисунок 1.5), что во втором квадранте не может быть никакой точки, поскольку если в нем есть точка, это означает, что при таком же риске (Var) или меньшем, чем этот, я получаю более высокую доходность, что противоречит финансовой теории.
Когда мы выполнили валидацию с 1% возмущений, были получены следующие результаты:
Рисунок 1.6 Результаты валидации алгоритма
Источник: собственная разработка
Рисунок 1.7 Масштаб возмущений на рисунке 2.7
Источник: собственная разработка
На рис. 1.6 видно, что алгоритм фактически дает оптимальный вектор весов для инвестирования с минимальным сопутствующим риском, поскольку, нарушая вектор X, полученные значения фактически имеют более высокий ожидаемый доход, а также более высокий VaR.
Рисунок 1.7 - это увеличенный вид предыдущего рисунка, и он показывает нам, что возмущения образуют кривую, а не линию, как казалось на рисунке 1.6.
ГЛАВА V ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ
В этом отчете удалось достичь предложенной цели вычислительной реализации алгоритма оптимизации, не существующего на национальном рынке, который рассчитывает VaR путем минимизации CVaR.
Хотя этот тип алгоритма может использоваться для всех типов финансовых транзакций, в ходе этой работы реализация проводилась для портфелей инвестиций в акции, основанных на активах, торгуемых на национальном рынке, но по методологии, которая может быть экстраполирована практически на любой мировой рынок.
Важно подчеркнуть, что использование VaR в качестве меры риска стало широко распространенным во всем мире. В Чили в настоящее время это требование Управления по ценным бумагам и страхованию (SVS) в качестве количественного показателя риска для некоторых типов транзакций. В связи с этим следует сказать, что на национальном уровне оценки VaR решаются только с помощью статистических методологий, которые довольно далеки от алгоритма оптимизации, разработанного в этом отчете.
Как правило, статистические оценки VaR используются для количественной оценки фактических рисков с учетом определенных портфелей. Следовательно, они используются только для получения представления об уровне принятого риска, а не в качестве инструмента принятия решений в будущем. С другой стороны, реализованный алгоритм приводит к оптимальному портфелю с точки зрения VaR, то есть он вычисляет веса для инвестирования в каждый актив, одновременно получая CVaR, наиболее желаемую меру риска (из-за ее свойств) и более консервативную.
Что касается получения и генерации финансовой информации для работы алгоритма, следует сказать, что, хотя прогнозы цен акций соответствуют вопросам, представляющим большие трудности при их моделировании, из-за их большой случайности, волатильности, ожиданий и внезапных движений. На рынке такие методы, как моделирование методом Монте-Карло, факторинг Холецкого и процессы Винера, очень помогли получить прогнозы доходности, волатильности и корреляции, аналогичные историческим прогнозам, представленным в исходных сериях.
Что касается результатов, полученных в отношении алгоритма оптимизации, можно увидеть, что они соответствуют финансовой теории относительно взаимосвязи между портфельным риском (VaR) и диверсификацией, а также требуемой доходностью для оптимального портфеля. который определяет алгоритм.
В главе III для создания сценариев мы попытались смоделировать поведение акций наиболее реальным из возможных способов, изменив историческое среднее значение доходности для CAPM, поскольку доходность каждой акции и безрисковые ставки и рынок получены на основе экспертных оценок людей во всем мире, поэтому их видение обычно более реально, чем предвзятое историческое среднее.
В главе IV, касающейся требуемой отдачи алгоритма, было замечено, что от определенного значения VaR существенно возрастает. Аналогичное поведение можно увидеть при анализе уровня свободной диверсификации по сравнению со статической диверсификацией.
Со статистической точки зрения, в этот отчет можно было бы добавить другие распределения помимо нормального, в частности, при моделировании винеровских процессов желательно учитывать асимметричные распределения, которые более реалистично соответствуют поведению цен акций., например t-student или логистическое распределение.
Наконец, еще одной перспективой для разработки этого отчета может быть рассмотрение инвестиционных портфелей с другими типами активов, такими как облигации и опционы, а также заявок в области страхования или банковских кредитов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
: Портильо П., член парламента, Сарто, Дж. Л. (2001): Финансовое управление процентным риском, Под ред. Пирамиде, Мадрид.
: http://www.bde.es/informes/be/estfin/completo/estfin03_06.pdf
: Джорион Филлипп (2000): Стоимость под риском: новый эталон для управления финансовыми рисками, 2-е издание, McGraw-Hill.
: Шарп, В. (1964): «Цены на основные средства: теория рыночного равновесия в условиях риска», Журнал финансов, № 19, стр. 425-442.
: Гарман М. и Бланко К. (1998): «Новые достижения в методологии оценки стоимости под риском: концепции VeRdelta и VeRbeta», журнал «Финансовый анализ», № 75, стр. 6-8.
: Джонсон Кристиан А. (2000): «Методы оценки рисков для инвестиционных портфелей», Рабочие документы, Центральный банк Чили, №67.
: https://emportal.jpmorgan.com/JPMorganMexico/doc_jun2006/24.pdf
: Ромеро, Р., Лаенгл, С. (2005): «Реализация условной ценности под риском для принятия решений», mimeo Universidad de Chile, Факультет экономических и административных наук.
: Rockafellar, RT, Uryasev, S. (2002): «Условная стоимость под риском для распределения общих убытков», Journal of Banking & Finance 26, стр.1443-1471.
: Artzner, P., Delbaen, F., Eber, JM, Health, D. (1999): "Согласованные меры риска", Mathematical Finance 9, стр.203-228.
: Антонио Паризи Ф. (2006): «Диверсификация и управление рисками», журнал «Экономика и администрация», Чилийский университет, стр. 70-71.
: Марковиц, Х. (1952): "Выбор портфеля", журнал финансов, стр. 77-91.
: Брили, Майерс, Аллен. (2006): «Принципы корпоративных финансов», 8-е изд., McGraw-Hill, стр. 161-187.
: http://www.gacetafinanciera.com/PORTAF1.ppt
: http://www.innovanet.com.ar/gis/TELEDETE/TELEDETE/bmatyest.htm
: Палмквист Дж., Урясев С. и Крохмаль П. (1999 г.): «Оптимизация портфеля с условной ценностью, подверженной риску, цели и ограничения», Университет Флориды, Департамент промышленной инженерии и систем.
: Маусер, Х. и Д. Розен. (1998) «Эффективные границы риска / доходности от кредитного риска», Algo Research Quarterly, Vol 2, N ° 2, pp. 5-20.
: Rockafellar, RT и S. Uryasev S. (2001): «Условная стоимость под риском для общего распределения убытков», Отчет об исследовании 2001-5. Отделение ISE Университета Флориды.
: Урясев, С. (2000): «Условная стоимость под риском: алгоритмы оптимизации и приложения» Financial Engineering New, 14, стр. 1-6.
: Халл, Джон С. (1999): «Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты». Прентис Холл, четвертое издание. Нью-Джерси.
: Даффи, Д. и Пан, Дж. (1997): «Обзор стоимости в опасности», Journal of Derivates, 4, 7-49.
: Ларсен Н., Маусер Х., Урясев С. (2001): «Алгоритмы оптимизации стоимости под риском», Отчет об исследовании 2001-9. Отделение ISE Университета Флориды.
Скачать оригинальный файл
