Мы не знаем точно, когда они появились, но мы уверены в том, что финансовая математика является производным от прикладной математики, которая изучает стоимость денег с течением времени и что с помощью серии математических моделей, называемых критериями, можно принять наиболее подходящие решения в инвестиционных проектах.
Читатель должен установить и проанализировать понятие финансовой математики, а также ее принципы и основные элементы. Точно так же вы должны связать изучение финансовой математики с деловой практикой.
Для решения примеров, случаев и упражнений мы применяем формулы и финансовые функции Excel в сочетании или просто функцию, следуя базовому процессу:
1. Идентификация и упорядочивание данных, 2. Применение формулы или формул и, 3º. Использование финансовых функций Excel.
Когда мы работаем с процентами, мы используем их десятичное выражение (0,20), например 20% = 0,20 (20/100), что является правильным способом работы с формулами.
Результаты операций обычно выражаются с точностью до пяти или четырех знаков после запятой в случае факторов или индексов. Окончательные ответы на упражнения сводятся к двум десятичным знакам. В обоих случаях результаты округляются в большую или меньшую сторону.
ФИНАНСОВО-приложения-Excel-с-финансово-математикой-1Наиболее часто используемые в работе финансовые функции:
PER (ставка; выплата; va; vf; ставка); ОПЛАТА (ставка; ппер; ва; пф; тип);
СТАВКА (кпер; платеж; ва; ср; ставка; оценка); VA (ставка; кпер; выплата; vf; тип);
VF (ставка; кпер; платеж; ва; тип) и параметр «Цель поиска» в меню инструментов, среди прочего.
Капитализация и дисконт
Мы рассматриваем два типа процентов: простые проценты и сложные проценты.
Простой интерес
Финансовая операция - это простые проценты, когда проценты рассчитываются на первоначальный капитал (или основную сумму) и за весь период операции. Другими словами, нет капитализации процентов.
Основная номенклатура:
SymbolMeaning
VA Капитал, основная сумма, приведенная стоимость, выраженная в денежных единицах
VF Capital плюс проценты, сумма, будущая стоимость, выраженная в денежных единицах
j Номинальная ставка или годовая процентная ставка
t Количество лет, время, м Количество капитализаций в год
n Количество периодов композиции
i Периодическая ставка
Годовая эффективная ставка TEA
Чистая приведенная стоимость NPV
IRR Внутренняя норма доходности
C Аннуитетная или единая плата
VA Приведенная стоимость аннуитета
VF Будущая стоимость аннуитета
ia Авансовая процентная ставка
iv Причитающаяся процентная ставка
Денежная единица UM
Базовые концепции
Предприниматели, которые занимают деньги, должны платить проценты (I) владельцу или финансовому учреждению за использование своих денег.
Сумма ссуды - это капитал или основная сумма (VA или P), их сумма (основная сумма плюс проценты) называется суммой (VF); согласованный период времени для выплаты ссуды является сроком (n).
Начисляемые проценты пропорциональны как основной сумме, так и сроку ссуды, они выражаются с помощью процентной ставки (i). Согласно экономической теории проценты - это цена денег.
Когда они платят только проценты на основную сумму, то есть на все взятые в долг, это называется простыми процентами.
Формула простого процента:
Процент - это произведение трех факторов: капитала (VA), времени (n) и ставки (i), таким образом, мы имеем:
Количество
Сумма - это сумма, полученная путем добавления процентов к основной сумме, то есть:
СУММА = КАПИТАЛ + ПРОЦЕНТ
Заменив их соответствующими символами, мы получим общую формулу суммы:
Формула для суммы (FV) простого процента на капитал VA, на который начисляются проценты по ставке i в течение n лет.
- Типы процентных условий
Обычно мы знаем два типа дедлайнов:
- а) Коммерческий или банковский интерес. Предполагается, что в году 360 дней, а в каждом месяце 30 дней. B) Точный процент. Он основан на естественном календаре: год 365 или 366 дней и месяц между 28, 29, 30 или 31 днем.
Использование 360-дневного года упрощает расчеты, но увеличивает процент, взимаемый кредитором, это обычно используется финансовыми учреждениями.
В большинстве упражнений в этой книге рассматривается деловой год; когда мы используем естественный календарь, мы будем указывать, чтобы действовать с точным интересом.
ne быть формулой или уравнением для расчета простых процентов.
- Скидки
Это кредитная операция, которая осуществляется в основном в банковских учреждениях и заключается в приобретении векселей, простых векселей, счетов-фактур и т. Д. Из номинальной стоимости которых они вычитают сумму, эквивалентную процентам, которые будут начислены по документу между датой получения и датой истечения срока действия. Они предполагают текущую ценность документа.
Подставляем значение VF в формулу:
D = n * d
D = VA * b * d + D * n * d и, переходя ко второму члену, получаем D - D * n * d = VA * n * d
- Стоимость денег с течением времени
Время (срок) имеет важное значение при определении стоимости капитала.
Денежная единица сегодня стоит больше, чем денежная единица, которая будет получена в будущем. Доступную сегодня MU можно инвестировать, получив процентную ставку с доходностью выше, чем MU в будущем. Математика временной стоимости денег позволяет количественно оценить стоимость ЕЕ с течением времени. Это зависит от нормы прибыли или процентной ставки, которая может быть достигнута на инвестиции.
Временная стоимость денег применяется во многих областях финансов - составлении бюджета, оценке облигаций и оценке акций. Например, по облигации периодически выплачиваются проценты, пока не будет погашена номинальная стоимость облигации.
Понятия временной стоимости денег сгруппированы в две области: будущая стоимость и текущая стоимость. Будущая стоимость (FV - Capitalization) описывает процесс роста будущих инвестиций по процентной ставке и в определенный период. Приведенная стоимость (VA - Update) описывает процесс будущего денежного потока, который с учетом ставки дисконтирования и за период представляет собой сегодняшнюю MU.
Будущая стоимость одного потока
Будущая стоимость одного потока представляет собой будущую сумму инвестиций, сделанных сегодня, и которая будет расти, если мы будем инвестировать с определенной процентной ставкой. Например, если сегодня мы помещаем 100 д.е. в сберегательную книжку, по которой выплачивается процентная ставка в размере 9% годовых, эта инвестиция вырастет до 109 д.е. через год. Это может отображаться следующим образом:
Год 1: 100 MU (1 + 0,09) = 109 MU
По истечении двух лет первоначальная инвестиция вырастет до 118,81 д.е. Как мы видим, инвестиция принесла проценты в размере 9,81 д.е. в течение второго года и только 9 д.е. в течение первого года. Таким образом, во второй год не только первоначальная инвестиция в размере 100 д.е., но и 9 д.е. в конце первого года приносили проценты. Это происходит потому, что это сложная процентная ставка.
6.2. Сложный процент
Сложный процент - это экспоненциальная формула, и во всех формулах, производных от нее, мы должны оперировать только эффективной ставкой. Периодическая ставка имеет характеристику как эффективной, так и номинальной, именно эту ставку мы должны использовать в формулах сложных процентов.
В случае сложных процентов мы платим или зарабатываем не только на первоначальную основную сумму, но и на накопленные проценты, в отличие от простых процентов, которые выплачивают или приносят проценты только на начальную основную сумму.
Финансовая операция начисляется со сложными процентами, когда весь срок операции (например, один год) делится на регулярные периоды (например, один месяц), и проценты, начисленные в конце каждого из них, добавляются к капиталу, существовавшему в начале. Таким образом, проценты, полученные за каждый период, будут получать проценты за последующие периоды до конца полного срока. Его применение дает процент на проценты, известный как капитализация стоимости денег с течением времени.
Процентная ставка в приведенном выше примере составляет 9% годовых. Это означает, что проценты выплачиваются ежегодно. Таким образом, в нашей сберегательной книжке в конце первого года будет 109 д.е. (основная сумма плюс проценты), во второй год этот баланс увеличивается на 9%. Отбрасывая в конце второго года сальдо в размере 118,81 д.е., которое можно рассчитать следующим образом:
Как видим, математическая модель проявляет себя очень четко. Будущая стоимость первоначальной инвестиции с заданной процентной ставкой, ежегодно начисляемой в будущем периоде, рассчитывается с использованием следующего выражения:
Это не что иное, как общая формула сложных процентов для периода n состава. В финансовой математике использование общей формулы сложных процентов является фундаментальным для оценки и анализа денежных потоков.
Уравнения, выведенные из формулы (для инвестиций и возмещения за один платеж):
Процентная ставка (i) и термин (n) должны относиться к одной и той же единице времени (если процентная ставка годовая, срок должен быть годовым, если процентная ставка месячная, срок будет в месяцах, и т.д.). Безразлично адаптировать курс ко времени или наоборот.
При использовании месячной процентной ставки результат n будет выражен в месяцах.
Текущее значение одного потока
Текущая стоимость - это стоимость сегодняшних денежных единиц. Процесс расчета текущих значений при определенной процентной ставке известен как дисконт.
Процентная ставка, с которой мы определяем текущие значения, - это ставка дисконтирования, когда деньги поступают из внешних источников, и альтернативная стоимость, когда инвестиции поступают из собственных ресурсов.
Текущая стоимость переменного потока
Текущее значение переменного потока равно сумме текущих значений каждого из этих потоков. Чтобы понять это, предположим, что инвестиции, в которых обещано выплатить 100 д.е. в течение одного года и 200 д.е. через два года, - это сегодня; Если инвестору придется выбирать между этими двумя вариантами, ему будет безразлично выбирать между двумя вариантами, предполагая, что инвестиции имеют равный риск, то есть ставка дисконтирования одинакова. Это связано с тем, что будущие потоки, которые инвестор получит сегодня, безрисковые и имеют одинаковую стоимость при любой альтернативе. Однако, если у инвестиции была ставка дисконтирования 12%, приведенная стоимость инвестиции может быть найдена следующим образом:
Приведенная стоимость инвестиций
VA = 89,29 + 79,72 = MU 169,01
Следующее уравнение можно использовать для расчета приведенной стоимости будущего денежного потока:
Куда:
VA = текущая стоимость денежного потока
FCt = денежный поток (доход минус расходы) от t = 0 до n
i = ставка дисконтирования, t = период от нуля до n
n = последний период денежного потока
Рента
Аннуитет - это денежный поток, в котором денежные потоки однородны (то есть все денежные потоки равны), а движение денег происходит с регулярными интервалами. Денежные потоки аннуитета - это выплаты аннуитета или просто выплаты. Название аннуитета используется как обобщение по предмету, это не всегда годовые периоды выплат. Вот некоторые примеры аннуитетов:
- Ежемесячные арендные платежи. Выплата заработной платы раз в две недели или еженедельно. Раз в две недели или ежемесячные платежи по ссуде. Ежегодные взносы по полисам страхования жизни и т. Д.
Аннуитеты:
Просроченная. Просроченные, обычные или подлежащие выплате аннуитеты - это аннуитеты, платежи по которым производятся при наступлении срока погашения, то есть в конце каждого периода.
Пример, выплата заработной платы сотрудникам, сначала работа, потом выплата.
Приготовить. Авансовые или предоплаченные аннуитеты выплачиваются в начале каждого периода.
Предоплачиваемые аннуитеты являются результатом капитализации VA или VF с последующей оплатой за период путем их умножения на (1 + i). Другими словами, мы используем те же формулы для VA или VF постоплатных аннуитетов, умножая результат на (1 + i).
Приведенная стоимость аннуитета
Текущая стоимость аннуитета равна сумме приведенной стоимости аннуитетных платежей. Это можно рассчитать с помощью следующего уравнения:
В формулах аннуитета VA и VF процентная ставка не может быть решена, поэтому она должна быть получена методом проб и ошибок. По этой причине в этой книге для получения процентной ставки мы используем функцию RATE, когда мы работаем с однородными потоками, и функцию IRR, когда мы работаем с переменными потоками.
Когда мы сталкиваемся с профилем равных потоков для каждого периода, можно составить формулировку, которая дает нам текущую стоимость потоков за один раз, игнорируя расчет скидки между потоками. Таким способом расчета являются аннуитеты. Пример:
Будущая стоимость аннуитета
При расчете аннуитетов мы определили стоимость потоков в текущем или нулевом моменте. Также можно использовать ту же формулировку и предложить, например, сколько я сэкономлю в будущем, если внесу определенную сумму, равную периоду, при определенной процентной ставке за период. Другими словами, мы создаем фонд.
Ранее мы рассчитали приведенную стоимость серии будущих платежей. То, что мы ищем сейчас, как будущую сумму, - это выражение, отвечающее следующему финансовому профилю:
Мы начинаем с внесения суммы сейчас и делаем то же самое с той же суммой до периода n-1 и с одинаковой процентной ставкой для каждого периода.
Формула будущей стоимости аннуитета и его производных:
Значение зависит только от переменных процентной ставки «i», одинаковых для каждого периода, и значения, соответствующего количеству периодов «n», для потоков, созданных в начале каждого из них.
Аннуитеты имеют характерную особенность: будучи постоянным платежом в случае погашения долга, проценты, выплачиваемые в первые периоды, выше, а излишек предназначен для выплаты амортизации капитала, которая постепенно увеличивается, последующие проценты должны рассчитываться по более низкой ставке. размер капитала за счет его уменьшения или амортизации.
вечных
По определению это означает бесконечную продолжительность. Очень долгая или непрерывная продолжительность.
Из приведенной стоимости (VA) аннуитета C, который представляет собой серию платежей, депозитов или равномерный периодический поток для каждого из этих периодов, и внесения некоторых изменений, мы могли бы получить бессрочные выплаты. Характерной чертой бессрочного периода является то, что количество периодов велико, так что значение последних потоков при их дисконтировании незначительно. Стоимость многостороннего аннуитета, называемого бессрочным, рассчитывается по следующей формуле:
Бессрочные платежи позволяют быстро определять стоимость инструментов с фиксированной доходностью (VAP) за многие периоды. В этом случае «C» - это периодическая доходность, а «i» - соответствующая процентная ставка для каждого периода. Примерами бессрочных кредитов также являются инвестиции в недвижимость с арендной платой, учитывая, что процентная ставка приблизительно соответствует стоимости инвестиции (C).
Как правило, процентная ставка почти всегда годовая, а арендная плата - ежемесячная, для которой должна быть установлена эквивалентная процентная ставка (см. Определение и формулу в параграфе 10 данной главы) на этот период времени. Другие важные приложения - пенсии или аннуитеты.
Интерес
Проценты (I) - это сумма, уплачиваемая финансовым учреждением за привлечение ресурсов, а также сумма, взимаемая за их предоставление (размещение). Проценты - это разница между накопленной суммой за вычетом начальной стоимости; имеем ли мы дело с кредитами или инвестициями.
Проценты - это цена, которая выражает стоимость ресурса или товара, подлежащего обмену, это рента, уплачиваемая за использование заемных ресурсов в течение определенного периода.
Формулы, используемые для расчета процентов I:
I = VF - VA
Процентная ставка (i)
Процентная ставка - это цена времени, а норма прибыли - это цена времени, когда есть риск. Норма прибыли - это цена времени плюс премия за риск (цена риска).
Мы рассчитываем процентную ставку путем деления полученных или уплаченных мной процентов за период на первоначальную сумму, VA; поэтому процентная ставка будет:
Результат, полученный по формулам и представляет собой ставку за весь период композиции. Применимо, когда мы оцениваем ссуды и инвестиции по простым процентам (фиксированный платеж), а в случаях инвестиций по сложным процентам мы применяем формулу, когда мы имеем дело с разовым платежом. Это не применимо в случае аннуитетов или переменных потоков, в этих случаях очень полезны финансовые функции TASA (равномерные потоки) и IRR (переменные потоки) Excel.
Компоненты процентной ставки
Текущая процентная ставка (ic) - это рыночная ставка, применяемая банками и финансовыми организациями; ставка, фактически выплаченная по любой ссуде. У этого есть три компонента или причины:
- Эффект инфляции (): мера повышения общего уровня цен, оцениваемая через семейную корзину; мы отмечаем его эффект в потере покупательной способности валюты. Чем выше инфляция, тем выше процентная ставка.Влияние риска, присущего бизнесу или инвестициям. Чем выше риск, тем выше процентная ставка. Элемент риска (ip). Реальная ставка «i», типичная для бизнеса, которую инвестор хочет заработать, без рисков и инфляции. Базовая производительность. Как правило, казначейские облигации США принимаются в качестве параметра безрисковой ставки. Реальная процентная ставка (i). Процентные ставки и эквивалентный дисконт
В реальном мире процентные ставки устанавливаются более чем за один период в год. Обычно процентные ставки устанавливаются на годовой основе. Процентная ставка, выражаемая ежегодно и составляющая более одного раза в год, является номинальной ставкой, это простая процентная ставка; он игнорирует временную стоимость денег и частоту начисления процентов.
Периодическая ставка: процентная ставка, взимаемая или выплачиваемая за каждый период, например, еженедельно, ежемесячно или ежегодно; он имеет характеристику номинальной и эффективной одновременно.
Годовая эффективная ставка (TEA): ставка, которую вы фактически платите или взимаете за финансовую операцию, включает все расходы, связанные с ссудой или инвестициями. Если проценты начисляются ежеквартально, раз в полгода или месяц, фактически выплаченная или заработанная сумма больше суммы, начисляемой ежегодно.
Ожидаемые проценты (ia): это проценты, уплаченные в начале периода, когда мы получаем или доставляем деньги.
Причитающиеся проценты (iv): выплачиваются в конце периода, когда мы получаем или доставляем деньги.
Формулы для номинальных, денежных и эквивалентных процентных ставок:
Эквивалентные ставки
Две ставки с разными периодами начисления сложных процентов будут эквивалентны, если по истечении одного года они принесут одинаковые сложные проценты.
Обычно в банковских операциях, а также в случае облигаций с «нулевым купоном» используется учетная ставка (d) вместо (или вместе с) процентной ставки в качестве ориентира для выполнения операции. Использование учетной ставки или процентной ставки чисто условно, и мы всегда можем выразить одно через другое.
Мы объясняем это эквивалентными ставками, выплачиваемыми при наступлении срока погашения (iv) или авансом (ia).
Многие переговоры согласовываются с точки зрения ожидаемого интереса, и желательно знать, каков эквивалент просроченных процентных ставок. Типичный пример - банковские ссуды и срочные депозитные сертификаты.
Когда они указывают ожидаемую выплату процентов (ia), на самом деле это означает, что - в случае ссуды - вы получаете меньшую сумму, чем запрошенная.
Эти две формулы применимы только для периодических ставок.
Скачать оригинальный файл
