ЦЕЛИ
Основная цель книги - помочь учащемуся понять исчисление с помощью своих собственных рассуждений, чтобы он мог осмыслять и изучать исчисление не как еще один способ механизации математики, а как практический инструмент своей жизни.
Показать практическим и полезным способом использования исчисления в приложении к гуманитарным наукам.
Книга стремится, чтобы учащийся учился с удовольствием и простым способом достигал максимального понимания исчисления.
Мы надеемся, что эта книга будет в полной мере полезна для читателей.
КОНЦЕПТУАЛИЗИРУЙТЕСЬ УЧИТЬСЯ
Для начала расчет связан с математическим анализом движения и изменения. Поскольку каждый объект во вселенной меняется, расчет имеет практически применение во всех областях научных исследований. Почти невозможно переоценить важность вычисления, особенно дифференциального, в качестве основы для почти всего математического анализа.
Исчисление было разработано в 17 веке как новый и другой математический метод, Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц, которые работали независимо. Ньютон разработал его, пытаясь решить некоторые проблемы, связанные с его физикой и астрономией, такие как: определение скорости тела, работа, выполняемая силой, центр масс тела. Для Лейбница расчеты были начаты при попытке решить некоторые геометрические задачи, такие как определение касательной линии к кривой, длины до части кривой, площади, ограниченной одной или несколькими кривыми, объема твердого тела.
Вывод и интеграция являются операциями расчета; Будучи обратными операциями, они представляют собой сложение, вычитание, умножение и деление. Вывод - это, по сути, определение скорости изменения данной функции. Интеграция в основном сфокусирована на обратной задаче, то есть на определении функции, когда скорость ее изменения известна.
При рассмотрении процессов деривации и интеграции часто используется аналогия, существующая между ними и кинематографическим фильмом. Кинофильм - это последовательность живых изображений, каждое из которых немного отличается от других - каждая фигура описывает объект в заданных позициях в определенный момент времени. Когда фильм отображается через проектор с соответствующей скоростью, изображения группируются вместе, создавая иллюзию движения. Точно так же дифференцирование делит функцию на множество (фиксированных) частей бесконечно малого размера для последующего анализа в определенный момент времени или для определенного значения независимой переменной; интеграция, с другой стороны, объединяет эти бесконечно малые части для получения функции.
Когда отношения между переменными устанавливаются с использованием уравнений, их можно использовать для анализа этих отношений. Расчет использовался физиками, астрономами, химиками и инженерами почти с момента его открытия; и в последние годы также биологами и специалистами в области социальных и поведенческих наук.
Поскольку анализ экономики и управления часто связан с изменениями, расчет является чрезвычайно ценным инструментом для руководителей компаний и экономистов. Маржинальный анализ, пожалуй, самое прямое применение исчисления в экономике и управлении; предельная скорость изменения или изменения маржи аналитически выражается как первая производная соответствующей функции. Дифференциальное исчисление также является методом, с помощью которого получаются максимумы и минимумы функций.
Следовательно, с помощью расчетов можно решить проблемы, связанные с максимизацией прибыли или минимизацией затрат, при определенных допущениях. Математическое программирование, которое стремится максимизировать или минимизировать ограниченные функции, все чаще используется в экономике и управлении, методы, используемые в линейном программировании, являются приложениями дифференциального исчисления.
Идея скорости изменения функции, которая является основой дифференциального расчета.
Простейший тип функциональных отношений между двумя переменными представлен прямой линией и соответствует постоянной или равномерной скорости изменения зависимой переменной по отношению к изменению независимой переменной. Переменная скорость изменения зависимой переменной относительно изменения независимой переменной представлена криволинейной (или нелинейной) функцией. Средняя переменная скорость изменения - это среднее значение в диапазоне переменной скорости изменения.
Для большого количества анализов наиболее важной концепцией является мгновенная скорость изменения. Переменная скорость изменения в определенное время независимой переменной.
Мгновенная скорость изменения получается путем деривации и, по сути, является первой производной функции, оцененной в точке интереса. Концепция попыток изменения является основой маржинального анализа в экономике; Маржинальный анализ учитывает влияние на зависимую переменную из-за небольших изменений в независимой переменной, то есть вариации маржи.
Математическое определение и вывод отношения изменения мгновенно или незначительно обсуждаются позже более подробно; возможно, концепция может быть лучше понята интуитивно на примере физического движения.
Итак, в заключение мы имеем дело с бесконечно малыми изменениями зависимых и независимых переменных. Математически такие изменения определяются с использованием концепций предела и непрерывности; поэтому следующие разделы относятся к математическим концепциям математики и непрерывности, которые составляют основу теории исчисления.
BU ENO BOYS вступают в дело
* Имейте очень примечание:
- Исчисление - это исследование с использованием математических операций.
- Дифференциальный расчет - это тот, который касается разностей переменных величин.
- Интегральный расчет - это тот, который изучает интеграцию между функциями.
Набор номеров:
- натуральный
N = {0,1,2,3,4,5…}
- целые числа
Z = {…, -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,…}
- Рациональный
Q = {…, -1 / 3, -1 / 2,0,1,2,…}
- Иррациональный
Q- = Это те, которые не могут быть выражены как дробные.
- реальный
R = Множество всех чисел.
* СВЯЗЬ ЧИСЛЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ:
- Отношения
Больше, меньше, равно, больше или равно, меньше или равно, следующее и предшествующее.
- Операции
Сложение, вычитание, умножение, деление, расширение, логарифм, корень и т. Д.
* ПЕРЕМЕННЫЕ
Переменная - это величина, которая принимает несколько значений в
Особая проблема, набор значений приобретает переменную, это ее диапазон.
* ПОСТОЯННЫЙ
Константа - это величина, которая сохраняет фиксированное значение в рамках конкретной проблемы.
Абсолютная или числовая константа сохраняет одинаковое значение во всех задачах; произвольная или параметрическая константа (или параметр) сохраняет одно и то же значение во всех различных задачах.
* ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ
Набор упорядоченных пар вещественных чисел называется бинарным отношением. Множество первых элементов бинарного отношения называется областью отношений. Множество вторых элементов называется диапазоном отношений. Для данного множества {(x, y)} X и Y называются переменными. Множество значений, которые переменная X принимает в своей области, и тот же X, обычно называют независимыми переменными, множество значений, которые переменная Y принимает в своем пути, и тот же самый Y, обычно называют зависимой переменной. Когда в зависимости от контекста число переменных становится ясным, бинарное отношение можно просто назвать отношением.
Имея мальчиков, давайте посмотрим на диаграмму; ты можешь запомнить
что отношение - это соответствие, в котором элемент набора A выхода связан с некоторым элементом набора B поступления посредством специального правила.
| К
0 |
р | В
два |
| один | 4 | |
| два | 6 | |
| 3 | 8 | |
| 4 | 10 | |
| 5 | 12 | |
| 6 | 14 |
R = {(1,2), (2.4), (3.6), (4.8), (5.10), (6.12)}
R = {(A, B) / B = 2A}
D = {1,2,3,4,5,6} EA
R = {2,4,6,8,10,12} ЭБ
B = 2A - это специальное правило, которое определяет отношения.
Более простым способом; отношение - это набор отправлений, а вторые элементы относятся к набору прибытия. Предыдущее отношение определяет следующее отношение:
R = {(1,2), (2.4), (3.6), (4.8), (5.10), (6.12)}
Множество первых элементов пар отношений и множество вторых элементов пар отношений - это путь. Таким образом, в предыдущих отношениях вы должны:
Домен = (1,2,3,4,5,6) Ea и путь = (2,4,6,8,10,12) EB
Отношения также могут быть определены пониманием, то есть специальным правилом:
R = {(A, B) / B = 2A}
S = {(1,2), (2,8), (2,3)} - бинарное отношение, область которого
{1,2} и чей ранг {2,3,8}
S = {(x, y): X, Y действительные числа, X
S = {(x, y): Y = X, XER} - бинарное отношение.
Домен S - это R, а путь - это множество всех неотрицательных действительных чисел.
S = {(x, y): Y = X, если 0
Если отношение таково, что каждый элемент домена достигает его, ему соответствует элемент и только один маршрут, то это отношение называется функцией. Функции являются подмножеством отношений, все функции являются отношениями, но не все отношения являются функциями. Обратите внимание, что отношения S и S в предыдущем примере являются функциями, но отношения S и S не являются функциями. В функциях специальная запись используется для обозначения элемента маршрута, который соответствует элементу домена. Если f обозначает функцию
{(x, y)}, то число y, связанное с данным X, равно
символизирует f (x), это называется "f of x".
С помощью этой записи можно записать множество пар, определяющих f, где Y = f (x)
Со ссылкой на предыдущий пример, S и S могут быть записаны соответственно как:
S =
S = Другие буквы, например, g, f, b, c, часто используются для присвоения имени функции.
Уравнение, такое как g (x) = x + 1 / x, дает руководство для нахождения второго члена пары, первым членом которой является x. Говорят, что такое уравнение или формула определяют функцию, хотя функция - это не формула, а набор упорядоченных пар или {(x, y)}. Когда значение x подставляется в формулу для функции, результатом считается значение функции или функциональное значение для этого значения x.
В случае функции, содержащей две переменные, всякий раз, когда указывается значение независимой переменной, определяется значение зависимой переменной. Однако следует понимать, что это значение независимой переменной, которое назначается произвольно (за исключением недопустимых значений), таким образом определяя также значение зависимой переменной. В прикладной математике принято представлять независимую переменную с помощью x, а зависимую переменную с помощью Y.
В большинстве задач аналитической геометрии и в других областях чистой математики выбор независимых и зависимых переменных является делом удобства, и условное обозначение X или Y относится только к графическому представлению, как дано в этот пример. При рассмотрении уравнения X-4Y + 2Y + 6 = 0
Хорошо видно, что более удобно находить пары точек, если Y рассматривается как независимая переменная, а X - как независимая, как показано ниже: X = 4Y-2Y-6
Когда переменные являются чисто математическими и в конкретном контексте не представляют количества, нет другой подходящей основы для выбора. Однако, когда переменные представляют величины в контексте определенной темы, логика ситуации обычно определяет выбор независимых и зависимых переменных. Например, производимое количество считается основным фактором, определяющим общую стоимость, а не наоборот.
Даже в этом типе проблемы есть исключения; например, можно думать, что цена - это то, что определяет требуемое количество, или считается, что требуемое количество - это то, что определяет цену.
Если f (x) = x-x + 2, то
f (z) = z-z + 2 f (2) = 4-2 + 2 = 4
f (-3) = 9 + 3 + 2 = 14 f (0) = 0-0 + 2 = 2 f (a) = a-a + 2
f (x + 2) = (x + 2) - (x + 2) +2
= (x + 4x + 4) - (x + 2) +2
= х + 3х + 4
f (x + h) -f (x) = (x + h) - (x + h) + 2- (x-x + 2)
= (x + h) (x + h) - (x + h) + 2- (x-x + 2)
= x + 2xh + hx-h + 2-x + x-2
= 2хх + чч
* ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
Домен и путь любых отношений могут быть изменены, чтобы сформировать новые отношения. В новом отношении каждая пара получается путем обмена элементами соответствующей пары, содержащимися в исходном отношении. Такие два набора пар называются обратными отношениями; то есть каждое отношение является обратным к другому. Если оба отношения являются функциями, они называются обратными функциями. Обращение функции f обозначается символом f. в этих обозначениях -1 не является показателем степени; это только означает, что f является обратной к f. Обратное отношение является функцией тогда и только тогда, когда функция такова, что каждый элемент ее пути соответствует одному и только одному элементу ее области. Если f - обратная функция от f, то
f = x для всех x в области f
f = x для всех x в области f
Пока он может работать с алгеброй, соотношение f (x) можно найти, решив f = x, как если бы f (x) была переменной в уравнении.
Если домен не указан, предполагается, что это набор всех действительных чисел.
Пусть g = {(x, y): y = 2x-1}. Найдите обратную зависимость и определите, является ли она функцией.
Для каждого из значений x существует один и только один y, поэтому обратное значение g является функцией:
Y = 2x-1
Х = 1/2 (у + 1)
g {(x, y): y = 1/2 (x + 1)}
Поскольку буквы для обозначения значений домена и пути являются произвольными, X и Y используются в их обычном порядке.
Найдите обратное к f = {(x, y): y = x,> 0} и определите, является ли это функцией. Для каждого x существует один и только один Y, поэтому обратное к f является функцией:
Y = XX = - у
f = {(x, y): y = x}
Следует отметить, что если в предыдущем примере f имеет набор действительных чисел в качестве своего домена, то f не является функцией, поскольку домен является множеством всех неотрицательных действительных чисел, а его путь является множеством всех действительные числа.
Функциональную форму можно получить, заменив
| Форма в другом. Да, Y = f (x) и U = g (y); и если U =
тогда h называется соединением g через f. |
знак равно | ч (х), |
| Если f (x) = xx-1 и g (x) = x-1, то f = (x-1) - (x-1) - 1 = x - 3x + 1 g = (x-x + 1) - 1 = х - х - 2
Приведенный выше пример иллюстрирует тот факт, что, в общем, f = g Если g (x) = x + 2, то g = (x + 2) + 2 = x + 4x 6 |
* ФУНКЦИИ В ЭКОНОМИКЕ
Создайте модель, которая описывает и предсказывает поведение явления
* КРАЙНЫЙ НАЛИЗ
Изучите причины изменения функции, когда
производит наименьшее изменение значений в независимой переменной.
Изучите изменение изображений с наименьшей единицей изменения значений независимой переменной.
* ПРИЧИНА ДЛЯ ИЗМЕНЕНИЯ
Представляет связь между изменением зависимых переменных и независимых переменных.
Скорость изменения = ------–
* ПРОИЗВОДНОЕ
Это мгновенная скорость изменения значений изображения при минимальном изменении между значениями независимой переменной.
Вывод и дифференцирование - это операция, выполняемая над функциями для получения другой функции, называемой производной.
f (x) f` (x) Dx
- Приложения производных
1- Маржинальный анализ.
2- След кривых
- Критические точки
Это те значения, при которых производная становится равной нулю (0)
- Анализ интервалов
(-, a) (a, b) (b, c)… (c,)
- Максимус и минимус
Если A является критической точкой для f, а f является точкой увеличения до A и точкой снижения после A, то A является максимумом.
Если A является критической точкой f, а f - точкой увеличения до A и возрастающей после A, то A является минимумом.
* F ORMULAS
наклон = м = ----–
(Y - Y) = м (х - х)
f (x) = mx + b, где b = порезы y
- bb - 4ac = x формула для помощи в квадратичной функции, 2а, чтобы найти нули.
Экспоненциальная функция f (x) = a Логарифмическая функция f (x) = log x Кубическая функция f (x) = ax
Квадратичная функция f (x) = ax + bx + c
Функция дохода, Доход = (цена) (количество предметов) Линейное уравнение 0 = топор + на + с
* ПРОИЗВОДНЫЕ ФОРМЫ
1- Получено из постоянной функции
f (x) = kf` (x) = 0
2- Производная от f (x) = xf` (x) = 1
3- Производная от f (x) = axe f` (x) = a
4- Производная от f (x) = x
f` (x) = nx
5- Производная от f (x) = ef` (x) = e
6- Производная от f (x) = log
7- сумма функций
f` (x) = 1 / x
h (x) = f (x) + g (x) h` (x) = f` (x) + g` (x)
8- Вычитание функций
h (x) = f (x) - g (x) h` (x) = f` (x) + g` (x)
9- Продукт функций
h (x) = f (x) g (x) h` (x) = f` (x) g (x) + f (x) g` (x)
10- Правило для отношения функций
h (x) = f (x)
h` (x) = f` (x) g (x) -f (x) g` (x)
ВЫВОДЫ
Это действительно интересный опыт, чтобы попытаться передать понятия и многое другое, когда они становятся математиками, через книгу, но мы заключаем, что это интересная задача, которая лично заставит нас заинтересоваться улучшением в этой области все больше и больше, чтобы держать нас в курсе.
Анализ и понимание математики имеет важное значение для жизни и различных социальных наук.
Концептуализация, а не механизация жизненно важна для полного понимания математики.
Это был уникальный и неповторимый опыт, благодаря последним читателям, которые судят вас.
Скачать оригинальный файл
